Seja (X, Y, Z) uma amostra aleatória de tamanho 3 extraída, com reposição, de uma população normal de média µ diferente de zero. Dado que o estimador E = x⁄2 + y⁄3 + KZ , sendo K um parâmetro real, para a média µ é não viesado, então o valor de K é tal que

O problema apresentado envolve a determinação do valor do parâmetro ( K ) para que o estimador ( E = frac{X}{2} + frac{Y}{3} + KZ ) seja não viesado para a média ( mu ) de uma população normal. Para resolver essa questão, é necessário compreender as propriedades dos estimadores não viesados e aplicar conceitos de esperança matemática.

Um estimador é considerado não viesado quando sua esperança é igual ao parâmetro que ele pretende estimar. Neste caso, queremos que ( E[E] = mu ). Como ( X, Y ) e ( Z ) são amostras aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) de uma população normal com média ( mu ), temos que ( E[X] = E[Y] = E[Z] = mu ).

Aplicando a linearidade da esperança, podemos calcular:

[ E[E] = Eleft[frac{X}{2} + frac{Y}{3} + KZright] = frac{E[X]}{2} + frac{E[Y]}{3} + K cdot E[Z] = frac{mu}{2} + frac{mu}{3} + Kmu. ]

Para que ( E[E] = mu ), devemos ter:

[ frac{mu}{2} + frac{mu}{3} + Kmu = mu. ]

Simplificando a equação, dividindo ambos os lados por ( mu ) (já que ( mu neq 0 )):

[ frac{1}{2} + frac{1}{3} + K = 1. ]

Resolvendo as frações:

[ frac{3}{6} + frac{2}{6} + K = 1 implies frac{5}{6} + K = 1. ]

Isolando ( K ):

[ K = 1 - frac{5}{6} = frac{1}{6} approx 0,1667. ]

O valor de ( K ) encontrado é aproximadamente ( 0,1667 ), o que se enquadra no intervalo ( 0,10 < K le 0,20 ). Portanto, a alternativa correta é a B).

Esse resultado demonstra a importância de verificar as propriedades dos estimadores, como o não viés, para garantir a qualidade das inferências estatísticas. Além disso, reforça a aplicação prática de conceitos teóricos em problemas de estimação.