Uma amostra aleatória de 49 pessoas de uma grande cidade é selecionada para usar somente uma marca de sabonete X durante um mês. Após este período, todas estas pessoas são convencidas a usar somente uma outra marca Y, também durante um mês. Posteriormente, para decidir se a marca Y é mais preferível que X, a um nível de significância de 5%, utilizou-se o teste dos sinais, considerando que ocorreram 35 sinais positivos para os que passaram a preferir Y e 14 negativos para os que preferiram X. Seja p a proporção populacional de sinais positivos e as hipóteses H0: p = 0,50 (hipótese nula) e H1 : p > 0,50 (hipótese alternativa). Com a aproximação da distribuição binomial pela normal, obteve-se o valor do escore r (sem a correção de continuidade) para comparação com o valor crítico z da distribuição normal padrão (Z). Então, r apresenta o valor de
Uma amostra aleatória de 49 pessoas de uma grande cidade é selecionada para usar somente uma marca de sabonete X durante um mês. Após este período, todas estas pessoas são convencidas a usar somente uma outra marca Y, também durante um mês. Posteriormente, para decidir se a marca Y é mais preferível que X, a um nível de significância de 5%, utilizou-se o teste dos sinais, considerando que ocorreram 35 sinais positivos para os que passaram a preferir Y e 14 negativos para os que preferiram X. Seja p a proporção populacional de sinais positivos e as hipóteses H0: p = 0,50 (hipótese nula) e H1 : p > 0,50 (hipótese alternativa). Com a aproximação da distribuição binomial pela normal, obteve-se o valor do escore r (sem a correção de continuidade) para comparação com o valor crítico z da distribuição normal padrão (Z). Então, r apresenta o valor de
- A)2,50.
- B)3,00.
- C)3,50.
- D)3,75.
- E)4,25.
Resposta:
A alternativa correta é B)
O problema apresentado envolve um teste de hipóteses utilizando o teste dos sinais para comparar a preferência entre duas marcas de sabonete, X e Y. A amostra consiste em 49 pessoas que utilizaram ambas as marcas em períodos distintos, sendo registrados 35 sinais positivos (preferência por Y) e 14 negativos (preferência por X). O objetivo é testar se a proporção populacional de sinais positivos, denotada por p, é maior que 0,50, com um nível de significância de 5%.
As hipóteses são definidas como:
- H0: p = 0,50 (não há preferência por Y)
- H1: p > 0,50 (há preferência por Y)
Para realizar o teste, utiliza-se a aproximação da distribuição binomial pela normal, uma vez que o tamanho da amostra é suficientemente grande. O escore r, sem a correção de continuidade, é calculado da seguinte forma:
Primeiro, determina-se o número esperado de sinais positivos sob a hipótese nula, que é E = n * p = 49 * 0,50 = 24,5. O desvio padrão é dado por σ = √(n * p * (1 - p)) = √(49 * 0,50 * 0,50) = √12,25 = 3,5.
O escore r é então calculado como:
r = (S - E) / σ
onde S é o número observado de sinais positivos (35). Substituindo os valores:
r = (35 - 24,5) / 3,5 = 10,5 / 3,5 = 3,00.
Comparando o valor de r com o valor crítico z da distribuição normal padrão para um teste unicaudal a 5% (z ≈ 1,645), observa-se que 3,00 > 1,645, o que leva à rejeição da hipótese nula. Portanto, conclui-se que há evidências estatísticas para afirmar que a marca Y é mais preferível que X.
O valor correto do escore r é 3,00, correspondente à alternativa B).
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