Uma amostra aleatória simples de tamanho n é tomada de uma população de tamanho N. Sabe-se que N = 10 n e que a variância populacional é σ2. A variância da média amostral é dada por

Uma amostra aleatória simples de tamanho n é extraída de uma população de tamanho N, onde se sabe que N = 10n. A variância populacional é denotada por σ². Nesse contexto, a variância da média amostral é um conceito fundamental em estatística, especialmente quando se trabalha com inferências sobre a população a partir dos dados amostrais.

Quando a população é finita e o tamanho da amostra não é desprezível em relação ao tamanho da população, é necessário aplicar um fator de correção para populações finitas (FCP) no cálculo da variância da média amostral. A fórmula correta para a variância da média amostral (Var(Ȳ)) é dada por:

Var(Ȳ) = (σ²/n) * [(N - n)/(N - 1)]

Substituindo N = 10n na fórmula, temos:

Var(Ȳ) = (σ²/n) * [(10n - n)/(10n - 1)] = (σ²/n) * (9n)/(10n - 1)

Simplificando a expressão, obtemos:

Var(Ȳ) = σ² * (9)/(10n - 1)

Portanto, a alternativa correta é a B), que corresponde à expressão derivada acima. É importante ressaltar que o fator de correção para populações finitas se torna irrelevante quando a amostra é muito pequena em relação à população, mas, neste caso, como n representa 10% de N, sua inclusão é necessária para um cálculo preciso da variância.