Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal com uma variância igual a 2,25 e uma população considerada de tamanho infinito. Uma amostra aleatória de tamanho igual a 144, desta população, apresentou uma média igual a 20 e um intervalo de confiança de amplitude igual a 0,55, a um nível de confiança (1-a). Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 100 e a média da amostra apresentasse o mesmo valor encontrado na amostra anterior, o intervalo de confiança, a um nível de confiança (1-a), seria igual a

O problema apresentado envolve o cálculo de intervalos de confiança para uma distribuição normal, considerando diferentes tamanhos de amostra. A variável aleatória X possui uma distribuição normal com variância conhecida (σ² = 2,25) e uma população de tamanho infinito. Inicialmente, uma amostra de tamanho n = 144 apresentou uma média amostral de 20 e um intervalo de confiança com amplitude 0,55, para um nível de confiança (1-α).

Para resolver o problema, é necessário entender como a amplitude do intervalo de confiança é afetada pelo tamanho da amostra. A amplitude (A) de um intervalo de confiança para a média populacional, com variância conhecida, é dada por:

A = 2 * z * (σ / √n)

Onde:

• z é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (1-α).
• σ é o desvio padrão populacional (σ = √2,25 = 1,5).
• n é o tamanho da amostra.

No primeiro cenário (n = 144), a amplitude é 0,55. Podemos usar essa informação para encontrar o valor crítico z:

0,55 = 2 * z * (1,5 / √144)

0,55 = 2 * z * (1,5 / 12)

0,55 = z * 0,25

z = 0,55 / 0,25 = 2,2

Esse valor de z corresponde ao nível de confiança (1-α). Agora, para o segundo cenário (n = 100), mantendo o mesmo nível de confiança, a amplitude do intervalo será:

A = 2 * 2,2 * (1,5 / √100)

A = 4,4 * (1,5 / 10)

A = 4,4 * 0,15 = 0,66

Portanto, o intervalo de confiança para a média amostral de 20, com amplitude 0,66, será:

Limite inferior = 20 - (0,66 / 2) = 20 - 0,33 = 19,67

Limite superior = 20 + (0,66 / 2) = 20 + 0,33 = 20,33

Comparando com as alternativas, a opção que mais se aproxima desse intervalo é a alternativa D) [19,670 ; 20,330]. Pequenas diferenças podem ocorrer devido a arredondamentos, mas o gabarito correto é de fato a letra D.