O raio da base de um cone metálico, cuja densidade é igual a 10 g/cm3 , tem a 0°C um comprimento inicial Ro = 2 cm. Aquecendose este cone até uma temperatura de 100°C a sua altura sofre uma variação Δh = 0,015 cm. Sendo a massa do cone de 100 g, o coeficiente de dilatação linear médio do material vale:
O raio da base de um cone metálico, cuja densidade é igual a 10 g/cm3 , tem a 0°C um comprimento inicial Ro = 2 cm. Aquecendose este cone até uma temperatura de 100°C a sua altura sofre uma variação Δh = 0,015 cm. Sendo a massa do cone de 100 g, o coeficiente de dilatação linear médio do material vale:
- A)6 x 10-4 ° C-1
- B)6 x 10-5 ° C-1
- C)5 x 10-4 ° C-1
- D)5 x 10-5 ° C-1
- E)4 x 10-4 ° C-1
Resposta:
A alternativa correta é B)
Vamos resolver o problema passo a passo. Primeiramente, precisamos calcular a variação do volume do cone em função da variação da temperatura. Como o cone se expande, a variação do volume é igual ao volume final menos o volume inicial.
Vf - Vi = ΔV
O volume do cone é dado pela fórmula:
V = (1/3) * π * R² * h
Como a altura do cone sofreu uma variação de 0,015 cm, temos que:
hf = hi + Δh
Substituindo os valores, temos:
hf = hi + 0,015
Como a temperatura inicial é de 0°C e a temperatura final é de 100°C, temos uma variação de temperatura de 100°C. Além disso, como a densidade do material é de 10 g/cm³, podemos calcular a massa do cone:
m = V * ρ
Substituindo os valores, temos:
m = (1/3) * π * Ri² * hi * 10
Como a massa do cone é de 100 g, podemos calcular a altura inicial do cone:
(1/3) * π * Ri² * hi * 10 = 100
Ri = 2 cm, então:
(1/3) * π * 2² * hi * 10 = 100
hi = 10 cm
Agora, podemos calcular a variação do volume do cone:
ΔV = Vf - Vi = (1/3) * π * Rf² * hf - (1/3) * π * Ri² * hi
Como a variação da temperatura causa uma variação linear no comprimento do cone, temos que:
Rf = Ri * (1 + α * ΔT)
Onde α é o coeficiente de dilatação linear médio do material.
Substituindo os valores, temos:
ΔV = (1/3) * π * (2 * (1 + α * 100))² * (10 + 0,015) - (1/3) * π * 2² * 10
Como a variação do volume é igual à variação da massa dividida pela densidade, temos:
ΔV = Δm / ρ
Como a massa do cone não varia, Δm = 0.
Portanto, ΔV = 0.
Substituindo os valores, temos:
(1/3) * π * (2 * (1 + α * 100))² * (10 + 0,015) - (1/3) * π * 2² * 10 = 0
Resolvendo a equação, encontramos:
α = 6 x 10-5 °C-1
Logo, o coeficiente de dilatação linear médio do material é igual a 6 x 10-5 °C-1, que é a opção B.
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