Dois observadores em movimento acompanham o deslocamento de uma partícula no plano. O observador 1, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, verifica que a partícula descreve um movimento dado pelas equações x1(t) = 3cos(t) e y1(t) = 4sen(t), sendo t a variável tempo. O observador 2, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, equaciona o movimento da partícula como x2(t) = 5cos(t) e y2(t) = 5sen(t). O observador 1 descreveria o movimento do observador 2 por meio da equação:  Observações: • os eixos x1 e x2 são paralelos e possuem o mesmo sentido; e • os eixos y1 e y2 são paralelos e possuem o mesmo sentido.  

Dois observadores em movimento acompanham o deslocamento de uma partícula no plano. O observador 1, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, verifica que a partícula descreve um movimento dado pelas equações x1(t) = 3cos(t) e y1(t) = 4sen(t), sendo t a variável tempo. O observador 2, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, equaciona o movimento da partícula como x2(t) = 5cos(t) e y2(t) = 5sen(t). O observador 1 descreveria o movimento do observador 2 por meio da equação:

Observações:

• os eixos x1 e x2 são paralelos e possuem o mesmo sentido; e

• os eixos y1 e y2 são paralelos e possuem o mesmo sentido.

Vamos tentar encontrar a equação do movimento do observador 2 em relação ao sistema de coordenadas do observador 1. Para isso, podemos começar pela equação do movimento do observador 2 em seu próprio sistema de coordenadas: x2(t) = 5cos(t) e y2(t) = 5sen(t). Podemos reescrever essas equações em termos de x1 e y1, utilizando as observações acima.

Como os eixos x1 e x2 são paralelos e possuem o mesmo sentido, podemos escrever x2 como uma função de x1. Além disso, como os eixos y1 e y2 são paralelos e possuem o mesmo sentido, podemos escrever y2 como uma função de y1.

Podemos começar pela equação x2(t) = 5cos(t). Como x1(t) = 3cos(t), podemos escrever x2 como x2 = (5/3)x1. Similarmente, podemos escrever y2 como y2 = (5/4)y1, pois y1(t) = 4sen(t).

Agora, podemos substituir essas expressões em uma das equações do movimento do observador 2, por exemplo, x2(t) = 5cos(t). Temos:

x2 = (5/3)x1 = 5cos(t)

Dividindo ambos os lados por 5, obtemos:

(1/3)x1 = cos(t)

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos:

((1/3)x1)² = cos²(t)

Ou seja:

(1/9)x1² = cos²(t)

Fazendo o mesmo com a equação y2(t) = 5sen(t), obtemos:

(1/4)y1² = sen²(t)

Agora, podemos somar as duas equações acima, obtendo:

(1/9)x1² + (1/4)y1² = cos²(t) + sen²(t)

Como cos²(t) + sen²(t) = 1, temos:

(1/9)x1² + (1/4)y1² = 1

Multiplicando ambos os lados por 36, obtemos:

4x1² + 9y1² = 36

Dividindo ambos os lados por 36, obtemos:

(1/4)x1² + (1/9)y1² = 1

ou seja, a equação do movimento do observador 2 em relação ao sistema de coordenadas do observador 1 é:

x2/4 + y2/9 = 1

Portanto, a resposta certa é D) x2/4 + y2 = 1.

• A)9x2 + 16y2 = 25
• B)x2/9 + y2/16 =25
• C)4x2 + y2 = 1
• D)x2/4 + y2 = 1
• E)4x2 + y2 = 4