Questões Sobre Leis de Kepler - Física - concurso

Considere um satélite em órbita geoestacionária em torno do equador terrestre. Sendo M a massa da Terra, T o período de revolução da Terra em torno de seu eixo e G a constante gravitacional universal, qual a velocidade mínima que se deve imprimir a esse satélite para que ele escape da atração gravitacional terrestre?

• E)

Para resolver esse problema, vamos começar calculando a velocidade de escape da Terra. A velocidade de escape é a mínima velocidade necessária para que um objeto escape da atração gravitacional de um corpo celeste. No caso da Terra, a velocidade de escape pode ser calculada pela seguinte fórmula:

v = √(2 * G * M / r)

Onde v é a velocidade de escape, G é a constante gravitacional universal, M é a massa da Terra e r é o raio da Terra.

Substituindo os valores conhecidos, temos:

v = √(2 * 6,674 * 10^(-11) N*m^2/kg^2 * 5,972 * 10^24 kg / 6,371 * 10^6 m)

v ≈ 11,2 km/s

Portanto, a velocidade mínima que deve ser impressa ao satélite para que ele escape da atração gravitacional terrestre é de aproximadamente 11,2 km/s.

Essa é a opção D) do gabarito.

É importante notar que a velocidade de escape é uma condição necessária, mas não suficiente, para que um satélite escape da atração gravitacional terrestre. Além disso, é preciso considerar a altitude do satélite e a sua direção de movimento.

No caso de um satélite em órbita geoestacionária, a altitude é muito grande e a direção de movimento é paralela à superfície da Terra, o que torna mais fácil escapar da atração gravitacional terrestre.

Mas, se o satélite estivesse em uma órbita mais baixa, a velocidade de escape seria maior e a direção de movimento seria mais inclinada, tornando mais difícil escapar da atração gravitacional terrestre.

Portanto, é importante considerar todos os fatores envolvidos para calcular a velocidade de escape correta.

Para resolver esse problema, precisamos aplicar a terceira Lei de Kepler, que estabelece que a proporção entre o quadrado do período orbital e o cubo do raio da órbita é uma constante. Matematicamente, isso pode ser representado pela fórmula:

P² ∝ r³, onde P é o período orbital e r é o raio da órbita.

Como a distância orbital da Terra ao Sol dobrou, o raio da órbita também dobrou. Portanto, podemos escrever:

r' = 2r

Substituindo essa expressão na fórmula acima, obtemos:

P'² ∝ (2r)³

Como a constante de proporção é a mesma, podemos igualar as duas expressões:

P² ∝ r³ = P'² ∝ (2r)³

Dividindo ambos os lados pela proporção, obtemos:

P² = P'² × (2)³

Como o período orbital atual da Terra é de aproximadamente 1 ano terrestre, podemos substituir P = 1. Então:

1² = P'² × (2)³

P'² = 1² / (2)³

P' = √(1 / 2³)

P' ≈ 2,424 anos terrestres

Portanto, a alternativa correta é A) 2,424 anos terrestres.

“O segmento imaginário que une o centro do Sol e o centro do centro do planeta varre áreas proporcionais aos intervalos de tempo dos percursos.” Esta é a assertiva para a:

• A)1ª Lei de Kepler.
• B)2ª Lei de Kepler.
• C)3ª Lei de Kepler.
• D)4ª Lei de Kepler.

A resposta certa é a opção B) 2ª Lei de Kepler. Isso porque a segunda lei de Kepler estabelece que a linha que conecta o centro do Sol ao centro do planeta varre áreas iguais em períodos iguais de tempo. Isso significa que, quanto mais perto o planeta estiver do Sol, mais rápido ele se move, e quanto mais longe estiver, mais devagar se move.

Essa lei é fundamental para entender o movimento dos planetas em nosso sistema solar. Ela ajuda a explicar por que os planetas têm órbitas elípticas e não circulares, e como suas velocidades variam ao longo de suas órbitas.

Além disso, a segunda lei de Kepler é uma ferramenta poderosa para astrônomos e físicos que estudam o movimento de corpos celestes. Ela permite que eles calculem a velocidade e a posição de um planeta em qualquer ponto de sua órbita, o que é essencial para entender fenômenos como efeitos de maré, eclipses e transitos.

No entanto, é importante notar que a segunda lei de Kepler não se aplica apenas a planetas. Ela também é válida para outros corpos celestes, como asteroides, cometas e satélites naturais. Isso significa que a lei de Kepler pode ser usada para estudar o movimento de uma ampla variedade de objetos no sistema solar.

Em resumo, a segunda lei de Kepler é uma ferramenta fundamental para entender o movimento dos corpos celestes em nosso sistema solar. Ela ajuda a explicar por que os planetas têm órbitas elípticas, como suas velocidades variam ao longo de suas órbitas e como podemos calcular sua posição e velocidade em qualquer ponto.

Considere um segmento de reta que liga o centro de qualquer planeta do sistema solar ao centro do Sol. De acordo com a 2ª Lei de Kepler, tal segmento percorre áreas iguais em tempos iguais. Considere, então, que em dado instante deixasse de existir o efeito da gravitação entre o Sol e o planeta.

Se a gravitação fosse anulada, a força que mantém o planeta em órbita desapareceria. No entanto, o planeta não iria se dirigir imediatamente em direção ao Sol, pois ele ainda estaria se movendo com a velocidade que possuía no momento em que a gravitação foi anulada.

Além disso, como a força gravitacional não estaria mais atuando, a órbita do planeta não seria mais uma elipse, pois a força gravitacional é responsável pela curvatura da órbita. No entanto, a 2ª Lei de Kepler ainda estaria válida, pois ela é uma lei que descreve a relação entre a área percorrida pelo segmento de reta que liga o centro do planeta ao centro do Sol e o tempo necessário para percorrer essa área.

Portanto, como a área percorrida pelo segmento de reta não depende da força gravitacional, a 2ª Lei de Kepler continua válida, mesmo sem a gravitação. E, como o planeta estaria se movendo com a mesma velocidade que possuía antes de a gravitação ser anulada, o segmento de reta continuaria a percorrer áreas iguais em tempos iguais.

Assim, a alternativa correta é A) O segmento de reta em questão continuaria a percorrer áreas iguais em tempos iguais.

A nave americana New Horizons passou, recentemente, bem perto da superfície de Plutão, revelando importantes informações a respeito desse planeta anão. Ela orbitou a uma distância d do centro de Plutão, cuja massa é 500 vezes menor que a da Terra, com uma velocidade orbital VP. Se orbitasse ao redor da Terra, a uma distância 2d de seu centro, sua velocidade orbital seria VT. A relação VT/VP entre essas velocidades valeria √10 multiplicada pelo fator

• A)2.
• B)3.
• C)4.
• D)5.
• E)10.

Para responder essa questão, é necessário aplicar a fórmula da velocidade orbital, que é dada por V = √(G * M / r), onde G é a constante gravitacional, M é a massa do corpo central e r é a distância do centro do corpo central até o objeto em órbita. Nesse caso, temos duas situações: a nave orbitando Plutão e a nave orbitando a Terra.

Para a nave orbitando Plutão, temos VP = √(G * MP / d), onde MP é a massa de Plutão.

Para a nave orbitando a Terra, temos VT = √(G * MT / 2d), onde MT é a massa da Terra.

Agora, podemos calcular a relação VT/VP dividindo as duas equações:

VT/VP = (√(G * MT / 2d)) / (√(G * MP / d))

Como a constante gravitacional G é a mesma em ambas as equações, podemos cancelá-la. Além disso, como a massa de Plutão é 500 vezes menor que a da Terra, temos MP = MT/500.

Substituindo esses valores na equação acima, obtemos:

VT/VP = (√(MT / 2d)) / (√(MT/500 / d))

Cancelando a massa da Terra MT, obtemos:

VT/VP = (√(1 / 2d)) / (√(1/500 / d))

Simplemente a equação, obtemos:

VT/VP = √10 * √(500/2)

VT/VP = √10 * √250

VT/VP = √10 * 5

VT/VP = 5√10

Como √10 ≈ 3,16, temos:

VT/VP ≈ 5 * 3,16

VT/VP ≈ 15,8

Aproximadamente, VT/VP = 15,8 / 3,16 = 5.

Portanto, o gabarito correto é D) 5.

Vamos analisar o que aconteceu com o planeta Terra após o asteróide passar próximo. Como consequência, a órbita da Terra se modificou e agora está mais próxima do Sol. Isso significa que a velocidade orbital da Terra aumentou.

Para entender melhor, vamos lembrar que a velocidade orbital de um planeta é dada pela fórmula v = √(G * M / r), onde v é a velocidade orbital, G é a constante gravitacional, M é a massa do Sol e r é o raio da órbita.

Como a Terra está mais próxima do Sol, o raio da órbita diminuiu. Portanto, a velocidade orbital aumentou. Isso significa que o ano terrestre, que é o tempo que a Terra leva para completar uma volta em torno do Sol, diminuiu.

Agora, vamos analisar o que aconteceu com o ciclo lunar. O ciclo lunar é o tempo que a Lua leva para completar uma volta em torno da Terra. A distância Terra-Lua também foi afetada pelo asteróide.

Como a Terra está mais próxima do Sol, a Lua também se moveu para uma órbita mais próxima da Terra. Isso significa que a distância Terra-Lua diminuiu. Portanto, o ciclo lunar também diminuiu.

Com essas informações, podemos concluir que o ano terrestre e a distância Terra-Lua vão se tornar, respectivamente, mais curto - aproximadamente duas vezes o que era antes. Essa é a opção B.

É importante notar que a alteração na órbita da Terra e da Lua afeta vários aspectos do nosso planeta, como o clima, as marés e a vida em geral.

Essa história de ficção científica nos permite refletir sobre como a alteração de um parâmetro pode ter consequências significantes em todo o sistema.

Além disso, podemos perceber como a compreensão das leis físicas, como a lei da gravidade, nos permite entender e prever como os objetos se comportam no espaço.

Resposta:

A resposta certa é B) Apenas a afirmação I é verdadeira.

Explicação:

A afirmação I é verdadeira pois, de acordo com a terceira lei de Kepler, o período de revolução de dois objetos que orbitam em torno de um centro de massa comum é igual e depende apenas da distância entre eles, da massa total do sistema e da constante gravitacional. Isso pode ser comprovado pela fórmula:

T² ∝ (a³)/G(M₁ + M₂)

Onde T é o período de revolução, a é a distância entre os centros das estrelas, G é a constante gravitacional e M₁ e M₂ são as massas das estrelas.

Já a afirmação II é falsa pois, embora o raio vetor R₁ varre uma área A durante um determinado intervalo de tempo Δt, o raio vetor R₂ não varre necessariamente a mesma área A no mesmo intervalo de tempo. Isso ocorre porque as estrelas possuem velocidades e direções diferentes, o que implica que as áreas varridas pelos raios vetores R₁ e R₂ são diferentes.

Portanto, a única afirmação verdadeira é a I, que estabelece a relação entre o período de revolução e a distância entre as estrelas, bem como a dependência da massa total do sistema e da constante gravitacional.

Conclusão:

A resposta certa é B) Apenas a afirmação I é verdadeira.

Uma lua de massa m de um planeta distante, de massa M >> m, descreve uma órbita elíptica com semieixo maior a e semieixo menor b, perfazendo um sistema de energia E. A lei das áreas de Kepler relaciona a velocidade v da lua no apogeu com sua velocidade v' no perigeu, isto é, v' (a - e) = v (a + e), em que e é a medida do centro ao foco da elipse. Nessas condições, podemos afirmar que

• A)E = - G M m / (2 a).
• B)E = - GMm / (2b).
• C)E = - GM m /(2e).
• D)E = - GMm/
• E)v' =

Portanto, a energia do sistema é dada pela opção A, que é igual a -G M m / (2 a), onde G é a constante de gravitação universal. Isso ocorre porque a energia do sistema é inversamente proporcional ao semieixo maior da órbita elíptica.

Além disso, é importante notar que a lei das áreas de Kepler é uma ferramenta fundamental para entender o movimento dos corpos celestes em órbitas elípticas. Essa lei estabelece que a área varrida pela linha que une o corpo celeste ao centro do planeta é constante em um determinado período de tempo.

No caso específico da lua em questão, a lei das áreas de Kepler nos permite relacionar a velocidade da lua no apogeu com sua velocidade no perigeu. Isso é útil para determinar a energia do sistema e entender como a lua se move em sua órbita elíptica.

Em resumo, a energia do sistema é dada pela opção A, que é igual a -G M m / (2 a). Além disso, a lei das áreas de Kepler é uma ferramenta fundamental para entender o movimento dos corpos celestes em órbitas elípticas.