Um ponto material P1 de massa m percorre a circunferência de centro na origem O e raio 1 no sentido anti-horário com velocidade angular constante 2ω, e no instante to=0 está na posição (0,1). Nesse mesmo instante, um ponto material P2 de massa m está na posição (0,2), percorrendo a circunferência de centro na origem e raio 2 no sentido horário com velocidade angular constante ω. No primeiro instante T>0 em que os pontos P1 e P2 estiverem alinhados com a origem, o ângulo entre o eixo Oy e o segmento 0P2 será:
Um ponto material P1 de massa m percorre a circunferência de centro na origem O e raio 1 no sentido anti-horário com velocidade angular constante 2ω, e no instante to=0 está na posição (0,1). Nesse mesmo instante, um ponto material P2 de massa m está na posição (0,2), percorrendo a circunferência de centro na origem e raio 2 no sentido horário com velocidade angular constante ω. No primeiro instante T>0 em que os pontos P1 e P2 estiverem alinhados com a origem, o ângulo entre o eixo Oy e o segmento 0P2 será:
- A)π/6
- B)π/4
- C)π/3
- D)π/2
- E)2π/3
Resposta:
A alternativa correta é C)
Vamos analisar o movimento dos pontos materiais P1 e P2. O ponto P1 percorre a circunferência de centro na origem O e raio 1 no sentido anti-horário com velocidade angular constante 2ω. Isso significa que o ângulo θ1 formado pelo segmento OP1 e o eixo Ox varia com o tempo de acordo com a equação:
θ1(t) = 2ωt + θ1,0,
onde θ1,0 é o ângulo inicial. No instante to=0, o ponto P1 está na posição (0,1), o que significa que θ1,0 = π/2.
Já o ponto P2 percorre a circunferência de centro na origem e raio 2 no sentido horário com velocidade angular constante ω. Isso significa que o ângulo θ2 formado pelo segmento OP2 e o eixo Ox varia com o tempo de acordo com a equação:
θ2(t) = -ωt + θ2,0,
onde θ2,0 é o ângulo inicial. No instante to=0, o ponto P2 está na posição (0,2), o que significa que θ2,0 = π/2.
No primeiro instante T>0 em que os pontos P1 e P2 estiverem alinhados com a origem, devemos ter θ1(T) = θ2(T) + kπ, onde k é um inteiro.
Substituindo as expressões para θ1(t) e θ2(t), obtemos:
2ωT + π/2 = -ωT + π/2 + kπ,
ou seja:
3ωT = kπ.
Como ω é constante e diferente de zero, devemos ter k = 3. Portanto, o primeiro instante T>0 em que os pontos P1 e P2 estiverem alinhados com a origem é:
T = π/(3ω).
No instante T, o ângulo entre o eixo Oy e o segmento 0P2 é:
θ2(T) = -ωT + π/2 = -ω(π/(3ω)) + π/2 = π/3.
Portanto, o ângulo entre o eixo Oy e o segmento 0P2 é igual a π/3, que é a opção C).
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