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Em uma apresentação artística, um motociclista dirige no cone da morte, um cone metálico de 7 metros de altura com angulação de 60º. Ele desenvolve uma trajetória circular paralela ao solo com velocidade constante. Desconsiderando o atrito, assinale a alternativa que apresenta a razão entre as velocidades lineares da motocicleta quando o motociclista está a 5 metros e 4 metros de altura.
Em uma apresentação artística, um motociclista dirige no
cone da morte, um cone metálico de 7 metros de altura
com angulação de 60º. Ele desenvolve uma trajetória
circular paralela ao solo com velocidade constante.
cone da morte, um cone metálico de 7 metros de altura
com angulação de 60º. Ele desenvolve uma trajetória
circular paralela ao solo com velocidade constante.
Desconsiderando o atrito, assinale a alternativa que
apresenta a razão entre as velocidades lineares da
motocicleta quando o motociclista está a 5 metros e
4 metros de altura.
apresenta a razão entre as velocidades lineares da
motocicleta quando o motociclista está a 5 metros e
4 metros de altura.
Resposta:
A alternativa correta é D)
Para resolver esse problema, precisamos entender as forças que atuam sobre o motociclista e a motocicleta. Quando o motociclista dirige no cone da morte, há uma força centrípeta que o mantém na trajetória circular. Essa força é proporcionada pela força normal exercida pelo cone sobre a motocicleta. Além disso, há também a força peso, que aponta para baixo.
A força centrípeta pode ser calculada utilizando a fórmula F = (m × v²) / r, onde m é a massa do motociclista e da motocicleta, v é a velocidade linear da motocicleta e r é o raio da trajetória circular. Como a velocidade é constante, a aceleração centrípeta também é constante. Isso significa que a força centrípeta é a mesma em qualquer ponto da trajetória.
Agora, precisamos encontrar a razão entre as velocidades lineares da motocicleta quando o motociclista está a 5 metros e 4 metros de altura. Para isso, podemos utilizar a fórmula F = (m × v²) / r e igualar as forças centrípetas em cada ponto. Como a massa é a mesma, podemos cancelá-la. Assim, temos:
(v1²) / r1 = (v2²) / r2
onde v1 é a velocidade linear quando o motociclista está a 5 metros de altura e r1 é o raio da trajetória circular nesse ponto. Similarmente, v2 é a velocidade linear quando o motociclista está a 4 metros de altura e r2 é o raio da trajetória circular nesse ponto.
Como a angulação do cone é de 60º, podemos utilizar a trigonometria para encontrar os raios. Em um triângulo retângulo com ângulo de 60º, o lado oposto ao ângulo é igual à metade do lado adjacente. Portanto, em um ponto a 5 metros de altura, o raio da trajetória circular é igual a 5 / (2 × sen(60º)) = 5 / (√3) = 5√3 / 3 metros.
Similarmente, em um ponto a 4 metros de altura, o raio da trajetória circular é igual a 4 / (√3) = 4√3 / 3 metros.
Agora, podemos substituir os valores de r1 e r2 na equação acima:
(v1²) / (5√3 / 3) = (v2²) / (4√3 / 3)
Simplificando a equação, temos:
v1² / 5 = v2² / 4
Dividindo ambos os lados pela v2², temos:
(v1² / v2²) = 4 / 5
Portanto, a razão entre as velocidades lineares é:
v1 / v2 = √(4 / 5) = 2 / √5
Essa é a alternativa D) correta.
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