As coordenadas x e y de uma partícula que se move no plano em função do tempo t são dadas por x = 2t2 + 3t e y = (t 3 /3) – 8 . Sabendo-se que x e y estão em metros e t em segundos, assinale a opção que apresenta, aproximadamente, o módulo da velocidade (em m/ s) e da aceleração (em m/ s2) , em t = 3s, respectivamente.

Para resolver esse problema, precisamos calcular a derivada primeira de x em relação a t, que nos dará a velocidade em função do tempo, e a derivada segunda de x em relação a t, que nos dará a aceleração em função do tempo.

Primeiramente, vamos calcular a derivada primeira de x em relação a t:

v_x = dx/dt = d(2t² + 3t)/dt = 4t + 3

Agora, vamos calcular a derivada primeira de y em relação a t:

v_y = dy/dt = d(t³/3 - 8)/dt = t²

A velocidade é um vetor, então precisamos calcular o módulo da velocidade:

v = √(v_x² + v_y²)

Substituindo os valores, temos:

v = √((4t + 3)² + t⁴)

Agora, vamos calcular a derivada segunda de x em relação a t:

a_x = dv_x/dt = d(4t + 3)/dt = 4

Agora, vamos calcular a derivada segunda de y em relação a t:

a_y = dv_y/dt = d(t²)/dt = 2t

A aceleração é um vetor, então precisamos calcular o módulo da aceleração:

a = √(a_x² + a_y²)

Substituindo os valores, temos:

a = √(4² + (2t)²)

Agora, vamos calcular o valor da velocidade e da aceleração em t = 3s:

v = √((4(3) + 3)² + (3)⁴) ≈ √306

a = √(4² + (2(3))²) ≈ √52

Portanto, a opção correta é E) √306 e √52.