Considerando que uma partícula move-se num plano de acordo com as equações de movimento x(t) = t 2 +3t+2ey(t) =4t,para t≥0, calcule o módulo da velocidade inicial e o módulo da velocidade mínima, respectivamente, e assinale a opção correta.

Vamos resolver o problema!

Primeiramente, precisamos encontrar a derivada das equações de movimento em relação ao tempo, que nos dará a velocidade.

x'(t) = d/dt (t 2 + 3t + 2) = 2t + 3

y'(t) = d/dt (4t) = 4

Portanto, a velocidade vetorial é: v(t) = x'(t) i + y'(t) j = (2t + 3) i + 4 j

Para encontrar o módulo da velocidade, basta calcular o módulo do vetor v(t).

|v(t)| = √((2t + 3) 2 + 4 2) = √(4t 2 + 12t + 9 + 16) = √(4t 2 + 12t + 25)

Agora, precisamos encontrar o módulo da velocidade inicial. Para isso, basta calcular o módulo da velocidade em t = 0.

|v(0)| = √((2(0) + 3) 2 + 4 2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Portanto, o módulo da velocidade inicial é 5.

Agora, precisamos encontrar o módulo da velocidade mínima. Para isso, precisamos encontrar o valor de t que minimiza o módulo da velocidade.

Para encontrar o valor de t que minimiza o módulo da velocidade, podemos derivar novamente em relação ao tempo e igualar a zero.

d/dt (4t 2 + 12t + 25) = 8t + 12 = 0

t = -12/8 = -3/2

No entanto, o problema especifica que t ≥ 0, então não há um valor de t que minimize o módulo da velocidade.

Portanto, o módulo da velocidade mínima é o módulo da velocidade inicial, que é 5.

Assim, a resposta certa é a opção D) 5 e 5.