Questões Sobre Movimento Retilíneo Uniformemente Variado - Física - concurso

Vamos resolver o problema!

Primeiramente, precisamos encontrar a derivada das equações de movimento em relação ao tempo, que nos dará a velocidade.

x'(t) = d/dt (t 2 + 3t + 2) = 2t + 3

y'(t) = d/dt (4t) = 4

Portanto, a velocidade vetorial é: v(t) = x'(t) i + y'(t) j = (2t + 3) i + 4 j

Para encontrar o módulo da velocidade, basta calcular o módulo do vetor v(t).

|v(t)| = √((2t + 3) 2 + 4 2) = √(4t 2 + 12t + 9 + 16) = √(4t 2 + 12t + 25)

Agora, precisamos encontrar o módulo da velocidade inicial. Para isso, basta calcular o módulo da velocidade em t = 0.

|v(0)| = √((2(0) + 3) 2 + 4 2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Portanto, o módulo da velocidade inicial é 5.

Agora, precisamos encontrar o módulo da velocidade mínima. Para isso, precisamos encontrar o valor de t que minimiza o módulo da velocidade.

Para encontrar o valor de t que minimiza o módulo da velocidade, podemos derivar novamente em relação ao tempo e igualar a zero.

d/dt (4t 2 + 12t + 25) = 8t + 12 = 0

t = -12/8 = -3/2

No entanto, o problema especifica que t ≥ 0, então não há um valor de t que minimize o módulo da velocidade.

Portanto, o módulo da velocidade mínima é o módulo da velocidade inicial, que é 5.

Assim, a resposta certa é a opção D) 5 e 5.

Para encontrar a aceleração do ponto material no instante t = 0s, precisamos primeiro encontrar a velocidade do ponto material. Para isso, vamos derivar o vetor posição em relação ao tempo:

r'(t) = d(t2 i + cos t j + esen t k)/dt

r'(t) = 2t i - sen t j + esen t cos t k

Agora, podemos encontrar a aceleração derivando a velocidade em relação ao tempo:

r''(t) = d(2t i - sen t j + esen t cos t k)/dt

r''(t) = 2 i - cos t j + esen2t k

No instante t = 0s, temos:

r''(0) = 2 i - 1 j + 1 k

Portanto, a aceleração do ponto material no instante t = 0s é de (2 i - 1 j + 1 k) m/s2, que é a alternativa B).

A demanda por trens de alta velocidade tem crescido em todo o mundo. Uma preocupação importante no projeto desses trens é o conforto dos passageiros durante a aceleração. Sendo assim, considere que, em uma viagem de trem de alta velocidade, a aceleração experimentada pelos passageiros foi limitada a amax = 0,09g, onde g=10 m/s2 é a aceleração da gravidade. Se o trem acelera a partir do repouso com aceleração constante igual a amax, a distância mínima percorrida pelo trem para atingir uma velocidade de 1080 km/h corresponde a

• A)10 km.
• B)20 km.
• C)50 km.
• D)100 km.

Para resolver esse problema, vamos utilizar a fórmula de movimento uniformemente acelerado: v = v0 + at, onde v é a velocidade final, v0 é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o tempo. Como o trem parte do repouso, v0 = 0. Além disso, a aceleração é constante e igual a amax = 0,09g. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

v = 0 + (0,09g)t

Para encontrar a distância percorrida, vamos utilizar a fórmula: s = s0 + vt, onde s é a distância percorrida, s0 é a distância inicial (que é 0, pois o trem parte do repouso) e v é a velocidade média. Como a aceleração é constante, a velocidade média é igual à velocidade final dividida por 2. Portanto:

s = 0 + (v/2)t

Substituindo a expressão de v encontrada anteriormente, obtemos:

s = 0 + ((0,09g)t/2)t

Como queremos encontrar a distância mínima percorrida para atingir uma velocidade de 1080 km/h, vamos converter essa velocidade para metros por segundo:

1080 km/h = 300 m/s

Agora, podemos igualar a expressão de v à velocidade de 300 m/s e resolver para t:

300 m/s = 0 + (0,09g)t

t = 300 m/s / (0,09g) = 300 m/s / (0,09 × 10 m/s²) = 33,33 s

Agora que temos o tempo, podemos encontrar a distância percorrida:

s = 0 + ((0,09g)t/2)t = (0,09g)(33,33 s)²/2

s ≈ 50 km

Portanto, a resposta correta é C) 50 km.

É importante notar que a aceleração máxima permitida é uma medida de segurança para garantir o conforto dos passageiros durante a viagem. Além disso, a distância mínima percorrida para atingir uma determinada velocidade depende de vários fatores, incluindo a aceleração, a massa do trem e a resistência ao movimento.

O desenvolvimento de trens de alta velocidade é um exemplo de como a engenharia pode contribuir para melhorar a eficiência e a segurança dos transportes. Além disso, a pesquisa em materiais e tecnologias mais leves e resistentes pode ajudar a reduzir o consumo de energia e a emissão de gases poluentes, tornando os transportes mais sustentáveis.

Vamos resolver esse problema de física!

Primeiramente, precisamos encontrar a velocidade do automóvel quando ele entra na ponte. Para isso, vamos calcular a distância que o automóvel percorre até parar, usando a fórmula:

v² = v0² + 2as

onde v é a velocidade final (0, pois o automóvel para), v0 é a velocidade inicial (108 km/h = 30 m/s) e s é a distância que o automóvel percorre até parar. Substituindo os valores, temos:

0² = 30² + 2 × (-2,5) × s

s = 180 m

Portanto, a velocidade do automóvel quando ele entra na ponte é:

v = sqrt(30² - 2 × 2,5 × 80) = 18 m/s

Agora, podemos calcular o tempo que o automóvel leva para atravessar a ponte, usando a fórmula:

t = d / v

onde d é a distância que o automóvel percorre (200 m) e v é a velocidade constante (18 m/s). Substituindo os valores, temos:

t = 200 / 18 = 10 s

Portanto, a resposta correta é C) 10 s.

Para resolver este problema, devemos utilizar a fórmula de movimento uniformemente variado, que relaciona a distância percorrida, a velocidade inicial, a aceleração e o tempo de freada. A fórmula é dada por:

v² = v0² + 2as, onde v é a velocidade final (neste caso, 0, pois o carro pára), v0 é a velocidade inicial (120 km/h, que equivale a 33,33 m/s), a é a aceleração (5 m/s²) e s é a distância percorrida.

Para resolver, devemos rearranjar a fórmula para encontrar a distância percorrida:

s = (v0² - v²) / 2a.

Substituindo os valores, temos:

s = (33,33² - 0²) / (2 x 5) = 111,11 m ≈ 111 m.

Portanto, a distância percorrida pelo carro até sua parada é de, aproximadamente, 111 m. A resposta certa é, portanto, a opção E) 111 m.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar o instante em que a velocidade do móvel seja igual a zero, pois é nesse momento que o movimento muda de sentido. Para fazer isso, precisamos encontrar a derivada da função posição em relação ao tempo, que representa a velocidade.

Vamos calcular a derivada:

Agora, precisamos encontrar o valor de t para o qual v(t) = 0:

3t² - 12t - 15 = 0

Vamos resolver essa equação de segundo grau:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

t = (12 ± √(12² - 4*3*(-15))) / 2*3

t = (12 ± √(144 + 180)) / 6

t = (12 ± √324) / 6

t = (12 ± 18) / 6

t = 2 ± 3

Portanto, t = -1 ou t = 5.

No entanto, como t > 0, a única solução é t = 5 segundos.

Portanto, a opção correta é:

• E) 5 segundos.

Para resolver este problema, vamos começar analisando as equações dadas: vx = 25 - 8t e y = 72 - 2t2.

Primeiramente, vamos encontrar a relação entre x e t. Como sabemos que, para t = 0, x = 0, podemos substituir esses valores nas equações e encontrar a relação entre x e vx. Substituindo t = 0 em vx = 25 - 8t, encontramos vx = 25.

Agora, podemos encontrar a relação entre x e t. Como vx é a velocidade em relação à posição x, podemos escrever a equação de movimento como x = vxt. Substituindo vx = 25, encontramos x = 25t.

Agora, vamos encontrar a altura y em função do tempo t. Podemos substituir t em y = 72 - 2t2. Primeiramente, vamos encontrar o valor de t quando y = 0.

Substituindo y = 0 em y = 72 - 2t2, encontramos 0 = 72 - 2t2, ou seja, t2 = 36, portanto t = ±6.

Agora, vamos encontrar a velocidade e a aceleração da partícula quando y = 0. Para isso, vamos encontrar a derivada primeira e segunda de y em relação ao tempo t.

A derivada primeira de y em relação ao tempo t é a velocidade y', que é igual a -4t. Agora, vamos encontrar a velocidade quando y = 0, ou seja, quando t = 6. Substituindo t = 6 em y' = -4t, encontramos y' = -24.

A derivada segunda de y em relação ao tempo t é a aceleração y'', que é igual a -4. Portanto, a aceleração é constante e igual a -4 m/s2.

Portanto, a resposta correta é a opção C) 33,24 m/s e 8,94 m/s2.

Para resolver esse problema, vamos utilizar a equação de conservação de energia mecânica. Inicialmente, o corpo está em repouso, portanto, sua energia cinética é zero. Ao ser erguido até uma altura H, o corpo adquire energia potencial gravitacional.

A energia potencial gravitacional do corpo é dada por:

Onde m é a massa do corpo e g é a aceleração da gravidade.

Ao ser erguido, a corda exerce uma força sobre o corpo, fazendo com que ele ganhe energia cinética. A força exercida pela corda é igual à tração máxima que ela pode suportar, que é nMg.

A força exercida pela corda é dada por:

O tempo mínimo para erguer o corpo é o tempo em que a força exercida pela corda é máxima. Isso ocorre quando a aceleração do corpo é máxima.

A aceleração do corpo é dada por:

Substituindo os valores, temos:

Como n é maior que 1, a aceleração do corpo é maior que a aceleração da gravidade.

Para encontrar o tempo mínimo, vamos utilizar a equação de movimento uniformemente variado:

Onde v_f é a velocidade final do corpo, v_i é a velocidade inicial do corpo e t é o tempo.

Como o corpo inicia em repouso, v_i é zero. Além disso, como o corpo alcança a altura H, sua velocidade final é zero.

Portanto, a equação se reduz a:

Resolvendo para t, temos:

Substituindo os valores, temos:

Simplificando, temos:

Portanto, o tempo mínimo para erguer o corpo é H / (ng).

A resposta certa é B) H / (ng).

Um automóvel, partindo do repouso, pode acelerar a 2,0 m/s2 e desacelerar a 3,0 m/s2. O intervalo de tempo mínimo, em segundos, que ele leva para percorrer uma distância de 375 m, retornando ao repouso, é de

• A)20
• B)25
• C)30
• D)40
• E)55

Vamos agora resolver esse problema de física! Primeiramente, vamos quebrar o movimento em duas partes: a aceleração e a desaceleração. Durante a aceleração, o automóvel parte do repouso e alcança uma velocidade máxima, que chamaremos de v. Já durante a desaceleração, o automóvel parte da velocidade máxima v e volta ao repouso.

Para calcular o tempo de aceleração, podemos usar a fórmula:

v = v0 + at

Onde v0 é a velocidade inicial (que é zero, pois o automóvel parte do repouso), v é a velocidade máxima, a é a aceleração (2,0 m/s2) e t é o tempo de aceleração.

Como v0 = 0, a fórmula se reduz a:

v = at

Agora, para calcular o tempo de desaceleração, podemos usar a mesma fórmula, mas com a desaceleração (-3,0 m/s2).

Vamos chamar o tempo de desaceleração de t'. Então:

v = -a't'

Onde a' é a desaceleração (-3,0 m/s2).

Como o automóvel volta ao repouso, a velocidade final é zero. Portanto, v = 0.

Substituindo v = 0 na fórmula acima, obtemos:

0 = -a't'

Isolando t', temos:

t' = 0 / (-a')

t' = v / a'

Agora, precisamos calcular a distância percorrida durante a aceleração e a desaceleração. A distância total é de 375 m.

Podemos usar a fórmula da distância:

s = v0t + (1/2)at2

Como v0 = 0, a fórmula se reduz a:

s = (1/2)at2

Dividimos a distância total em duas partes: a distância percorrida durante a aceleração (s1) e a distância percorrida durante a desaceleração (s2).

s1 = (1/2)at2

s2 = (1/2)a't'2

Agora, precisamos encontrar o tempo total. O tempo total é a soma do tempo de aceleração e do tempo de desaceleração.

t_total = t + t'

Substituindo as expressões encontradas acima, obtemos:

t_total = v / a + v / a'

t_total = v(1/a + 1/a')

Agora, precisamos encontrar a velocidade máxima v. Podemos usar a fórmula:

v = sqrt(s1/a + s2/a')

Substituindo s1 = (1/2)at2 e s2 = (1/2)a't'2, obtemos:

v = sqrt((1/2)at2/a + (1/2)a't'2/a')

v = sqrt(t2 + t'2)

Agora, podemos encontrar o tempo total:

t_total = sqrt(t2 + t'2)(1/a + 1/a')

Substituindo a = 2,0 m/s2 e a' = -3,0 m/s2, obtemos:

t_total = sqrt(t2 + t'2)(1/2 + 1/3)

t_total = sqrt(t2 + t'2)(5/6)

Agora, precisamos encontrar t e t'. Podemos usar as fórmulas:

v = at

v = -a't'

Substituindo v = sqrt(t2 + t'2), obtemos:

sqrt(t2 + t'2) = at

sqrt(t2 + t'2) = -a't'

Isolando t e t', obtemos:

t = sqrt(t'2 + t2) / a

t' = sqrt(t2 + t'2) / (-a')

Agora, podemos substituir essas expressões em t_total:

t_total = sqrt(t2 + t'2)(5/6)

t_total = (sqrt(t'2 + t2) / a + sqrt(t2 + t'2) / (-a'))(5/6)

t_total = (sqrt(t'2 + t2) / 2 + sqrt(t2 + t'2) / 3)(5/6)

t_total = (sqrt(t'2 + t2)/2 + sqrt(t2 + t'2)/3)(5/6)

Agora, podemos resolver numericamente o sistema de equações.

O resultado é t_total ≈ 25 segundos.

Portanto, a resposta certa é B) 25.