Suponha-se que a velocidade de uma partícula seja dada pela seguinte função: v = 50-30t + 20t2, onde t é dado em segundos e v em metros por segundo. Com base nessa informação, assinale a alternativa que apresenta a função da posição (x) em função do tempo, sabendo que a posição inicial é zero.

Vamos analisar essa função de velocidade e encontrar a função da posição.

Primeiramente, é importante entender o que a função de velocidade nos diz. Ela nos informa que a partícula está se movendo com uma velocidade que varia com o tempo. A velocidade é dada pela função v = 50 - 30t + 20t², onde t é o tempo em segundos e v é a velocidade em metros por segundo.

Para encontrar a função da posição, precisamos integrar a função de velocidade em relação ao tempo. Isso porque a velocidade é a taxa de variação da posição com o tempo. Em outras palavras, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Portanto, para encontrar a função da posição, vamos integrar a função de velocidade:

x(t) = ∫v(t)dt = ∫(50 - 30t + 20t²)dt

Para integrar essa expressão, vamos integrar termo a termo:

x(t) = 50t - (30t²)/2 + (20t³)/3 + C

Onde C é a constante de integração.

Como a posição inicial é zero, sabemos que x(0) = 0. Substituindo t = 0 na equação acima, obtemos:

0 = 50(0) - (30(0²))/2 + (20(0³))/3 + C

Portanto, C = 0.

Agora, podemos escrever a função da posição:

x(t) = 50t - 15t² + (20t³)/3

Comparando essa função com as opções, vemos que a alternativa C) é a correta.

Portanto, a resposta certa é x = 50t - 15t² + (20t³)/3.