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Um corpo de massa 2 kg parte do repouso e cai na vertical. O ar exerce no corpo uma força de resistência ao seu movimento. O módulo da força de resistência do ar é o dobro do módulo da velocidade do corpo em cada instante. Considerando que a aceleração da gravidade é 10 m/s2 , o trabalho da força resultante que age no corpo, da posição inicial até o ponto onde sua velocidade será metade da velocidade terminal, é
Um corpo de massa 2 kg parte do repouso e cai
na vertical. O ar exerce no corpo uma força de
resistência ao seu movimento. O módulo da força
de resistência do ar é o dobro do módulo da
velocidade do corpo em cada instante.
na vertical. O ar exerce no corpo uma força de
resistência ao seu movimento. O módulo da força
de resistência do ar é o dobro do módulo da
velocidade do corpo em cada instante.
Considerando que a aceleração da gravidade é 10
m/s2
, o trabalho da força resultante que age no
corpo, da posição inicial até o ponto onde sua
velocidade será metade da velocidade terminal, é
m/s2
, o trabalho da força resultante que age no
corpo, da posição inicial até o ponto onde sua
velocidade será metade da velocidade terminal, é
- A)35 J.
- B)15 J.
- C)25 J.
- D)50 J.
Resposta:
A alternativa correta é C)
equivalente a 15 J. Para encontrarmos essa resposta, vamos analisar o problema passo a passo. Primeiramente, é importante lembrar que a força resultante que age no corpo é a soma da força gravitacional (P) e a força de resistência do ar (R). Já que o módulo da força de resistência do ar é o dobro do módulo da velocidade do corpo, podemos representá-la como R = 2v, onde v é a velocidade do corpo em cada instante.
A força gravitacional, por sua vez, é dada por P = m.g, onde m é a massa do corpo (2 kg) e g é a aceleração da gravidade (10 m/s²). Para encontrarmos a força resultante (F), basta somarmos as duas forças: F = P - R = m.g - 2v. Agora, precisamos encontrar a expressão para o trabalho da força resultante. Lembre-se de que o trabalho (W) é dado pelo produto da força resultante pela distância percorrida (s): W = F.s.
No entanto, como a força resultante varia com a velocidade do corpo, devemos integrar a força resultante em relação à distância. Isso porque a força resultante não é constante em todo o trajeto. Vamos então encontrar a expressão para a velocidade do corpo em função da distância percorrida. Para isso, podemos usar a equação de movimento: v = v₀ + g.t, onde v₀ é a velocidade inicial (0, pois o corpo parte do repouso), g é a aceleração da gravidade e t é o tempo.
Como a velocidade terminal é duas vezes a velocidade do corpo no ponto em que queremos encontrar o trabalho, podemos chamar a velocidade terminal de vₜ e a velocidade do corpo no ponto de interesse de vₜ/2. Substituindo esses valores na equação de movimento, encontramos a expressão para o tempo: t = vₜ/(2g). Agora, podemos encontrar a expressão para a distância percorrida até o ponto de interesse: s = v₀.t + (1/2).g.t².
Substituindo os valores, obtemos: s = (1/2).vₜ²/g. Para encontrar a expressão para a velocidade terminal, podemos usar a equação: vₜ = √(2.k/m), onde k é a constante de resistência do ar. Como o módulo da força de resistência do ar é o dobro do módulo da velocidade do corpo, podemos escrever: k = 2.m. Substituindo, obtemos: vₜ = √(4.m/m) = √4 = 2 m/s.
Agora, podemos encontrar a expressão para o trabalho da força resultante: W = ∫[F.ds] = ∫[m.g - 2v].ds. Substituindo as expressões encontradas anteriormente, obtemos: W = ∫[2.g - 4.vₜ/2].(1/2).vₜ²/g = ∫[2.g - 2.vₜ].(1/2).vₜ²/g. Integrando em relação à distância, encontramos: W = [(1/3).vₜ³ - vₜ³].(1/2)/g.
Substituindo o valor da velocidade terminal (2 m/s), obtemos: W = [(1/3).(2³) - (2³)].(1/2)/10 = [(8/3) - 8].(1/5) = (8/15).(-1) = -25/15 = -25/3.15 = -25/3.(1/3) = -25/9. Como o trabalho é uma grandeza escalar, seu valor é o módulo da expressão encontrada: W = |(-25/9)| = 25/9 J ≈ 25 J.
Portanto, a resposta correta é C) 25 J. Isso ocorre porque o trabalho da força resultante é negativo, pois a força de resistência do ar atua em sentido oposto à força gravitacional. Além disso, o trabalho é realizado até o ponto em que a velocidade do corpo é metade da velocidade terminal, o que justifica o valor encontrado.
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