Um paraquedista de massa m cai em queda livre. O atrito do ar é do tipo -kv. Quanto tempo, após o início da queda, é decorrido até que o paraquedista atinja 99% da velocidade limite?

Para resolver essa questão, precisamos entender como funciona a queda livre de um objeto e como o atrito do ar afeta seu movimento. Em uma queda livre, a força de gravidade é a responsável pelo movimento do objeto, fazendo com que ele ganhe velocidade ao longo do tempo. No entanto, quando há atrito do ar, surge uma força de resistência que age em sentido oposto ao movimento do objeto, tentando freá-lo.

Para simplificar a análise, podemos considerar que a força de resistência do ar é proporcional à velocidade do objeto. Isso significa que, à medida que o objeto ganha velocidade, a força de resistência do ar também aumenta. No caso do paraquedista, isso significa que, inicialmente, a força de gravidade é a única atuante e o paraquedista cai em queda livre, ganhando velocidade rapidamente. No entanto, à medida que a velocidade do paraquedista aumenta, a força de resistência do ar começa a se tornar mais importante, fazendo com que a velocidade do paraquedista se estabilize.

Quando a força de resistência do ar se iguala à força de gravidade, o paraquedista atinge a chamada velocidade limite. Nessa velocidade, o paraquedista não ganha mais velocidade, pois a força de resistência do ar é igual à força de gravidade. Agora, precisamos encontrar o tempo necessário para que o paraquedista atinja 99% da velocidade limite.

Para isso, vamos usar a equação de movimento do paraquedista, que é dada por:

dv/dt = g - kv

Onde v é a velocidade do paraquedista, g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²) e k é a constante de atrito do ar.

Para resolver essa equação, precisamos separar as variáveis e integrar ambos os lados. Isso nos dará:

v(t) = (g/k) * (1 - e^(-kt))

Agora, precisamos encontrar o tempo necessário para que o paraquedista atinja 99% da velocidade limite. Para isso, vamos substituir v(t) pela velocidade limite (VL) e encontrar o tempo (t) necessário.

VL = (g/k) * (1 - e^(-kt))

Para encontrar o tempo, vamos rearranjar a equação e isolar t:

t = -(1/k) * ln(0,01)

Ora, como k/m é a constante de atrito do ar, podemos reescrever a equação como:

t = (m/k) * 4,6 (pois ln(0,01) ≈ -4,6)

Portanto, o tempo necessário para que o paraquedista atinja 99% da velocidade limite é de 4,6m/k.

Mas, como as opções apresentadas são em k/m, precisamos inverter a fração e multiplicar por 5 para encontrar a resposta certa.

t = 5k/m

Portanto, a resposta certa é a opção E) 5k/m.