A figura mostra um sistema, livre de qualquer força externa, com um êmbolo que pode ser deslocado sem atrito em seu interior. Fixando o êmbolo e preenchendo o recipiente de volume V com um gás ideal a pressão P, e em seguida liberando o êmbolo, o gás expande-se adiabaticamente. Considerando as respectivas massas m_c, do cilindro, e m_e, do êmbolo, muito maiores que a massa m_g do gás, e sendo γ o expoente de Poisson, a variação da energia interna ΔU do gás quando a velocidade do cilindro for v_c é dada aproximadamente por

A alternativa correta é letra C) ( ) -m_c(m_e + m_c)v^2_c/(2m_e).

De acordo com a primeira lei da termodinâmica, temos:

Delta U = Q - W

Como o gás expande-se adiabaticamente, temos que Q = 0. Logo,

Delta U = - W

Assim, podemos afirmar que ao liberar o êmbolo, a variação da energia interna do gás será convertida em trabalho para deslocar o êmbolo. Como não há atrito, esse trabalho é totalmente utilizado fornecer energia cinética aos componentes do sistema. Então, temos:

Delta U = - W = - E_{cin}^{sis}

Como as massas do cilindro e do êmbolo são muito maiores que a massa do gás, temos:

Delta U = - ( E_{cin}^{embolo} +E_{cin}^{cilindro} )

Delta U = - left( dfrac {m_e cdot {v_e}^2}{2} + dfrac {m_c cdot {v_c}^2}{2} right)

De acordo com a lei da conservação do momento, temos:

Q_{antes} = Q_{depois}

Como o sistema parte do repouso, temos que Q_{antes} = 0. Logo,

Q_{depois} = 0

Assim, temos:

m_c cdot v_c + m_e cdot v_e = 0

Então,

m_e cdot v_e = - m_c cdot v_c

v_e = - dfrac {m_c cdot v_c}{m_e }

Então, a variação da energia interna ΔU do gás quando a velocidade do cilindro for v_c é dada aproximadamente por:

Delta U = - left( dfrac {m_e cdot left( - dfrac {m_c cdot v_c}{m_e } right)^2}{2} + dfrac {m_c cdot {v_c}^2}{2} right)

Delta U = - left( dfrac { cancel {m_e} cdot dfrac { {m_c}^2 cdot {v_c}^2 } { {m_e}^{cancel 2} } }{2} + dfrac {m_c cdot {v_c}^2}{2} right)

Delta U = - left( dfrac { {m_c}^2 cdot {v_c}^2 } { 2 m_e } + dfrac {m_c cdot {v_c}^2}{2} right)

Delta U = - left( dfrac { {m_c}^2 cdot {v_c}^2 + m_c cdot m_e cdot {v_c}^2}{ 2 m_e } right)

Delta U = - dfrac { m_c ( m_c cdot {v_c}^2 + m_e cdot {v_c}^2)}{ 2 m_e }

Delta U = - dfrac { m_c cdot (m_c + m_e) cdot {v_c}^2}{ 2 m_e }

Portanto, a resposta correta é a alternativa (C).