Um balão de volume V= 50 1 está cheio de gás hélio e amarrado por uma corda de massa desprezível a um pequeno objeto de massa m. Esse balão encontra-se em um ambiente onde a temperatura é de 27 ºC e a pressão vale 1 atm. Considerando-se que a pressão no interior do balão seja de 2 atm e que o gás está em equilíbrio térmico com o exterior, qual deve ser o menor valor possível da massa m, para que o balão permaneça em repouso? (Dados: Massa molar do ar= 29,0 g/mol; massa molar do gás Hélio = 4,0 g/ mol; constante universal dos gases R = 0,082 atm.1/mol.K; considere a massa do material que reveste o balão desprezível e todos os gases envolvidos no problema gases ideais.)

A alternativa correta é letra E) 43 g

Gabarito: LETRA E.

Sabemos que o ar exerce uma força de empuxo vec E sobre o balão. Assim, vamos representar a ação das forças que atuam sobre o sistema:

A condição para que o balão permaneça em repouso é dada por:

E - P_{balão} - P_{objeto} = 0

Logo,

rho_{ar} cdot V cdot cancel g- m_{He} cdot cancel g - m cdot cancel g= 0

m = rho_{ar} cdot V - m_{He}

Como rho_{He} = dfrac { m_{He} } V, temos

m = rho_{ar} cdot V - rho_{He} cdot V

m = left( rho_{ar} - rho_{He} right) cdot V tag 1

Sabemos que a densidade rho de uma substância de massa m e volume V é dada por

rho = dfrac { m } { V }

Porém, como a massa m dessa substância pode ser escrita em função de sua massa molar MM e o número de mols n através da relação m = n cdot MM, a equação acima se torna:

rho = dfrac { n cdot MM } { V } tag 2

Da equação geral dos gases ideais, temos que

PV = nRT

Logo,

dfrac { n } { V } = dfrac { P } { RT } tag 3

Substituindo (3) em (2), temos:

rho = dfrac { P } { RT } cdot MM tag 4

Substituindo (4) em (1), temos

m = left( dfrac { P_{ar} cdot MM_{ar} } { RT } - dfrac { P_{He} cdot MM_{He} } { RT } right) cdot V

m = left( P_{ar} cdot MM_{ar} - P_{He} cdot MM_{He} right) cdot dfrac { V } { RT }

Substituindo os valores do enunciado, temos

m = left( 1 cdot 29,0 - 2 cdot 4,0 right) cdot dfrac { 50 } { 0,082 cdot left( 273 + 27 right) }

m = 21 cdot dfrac { 50 } { 24,6 }

m approx 43 , g

Portanto, a resposta correta é a alternativa (e).