Um Cadete acaba de ser selecionado para estagiar em um laboratório e tem a missão de caracterizar um novo material. Para iniciar essa caracterização, foi montado um aparato experimental, representado pelo esquema abaixo, com o objetivo de determinar sua condutibilidade térmica.
O experimento consiste em um tubo feito desse novo material, de comprimento L = 20 cm, raio externo r = 10 cm, espessura ε = 3 mm e possui as duas extremidades fechadas com material isolante. No seu interior, onde foi feito vácuo, é colocado um resistor R para aquecer o sistema internamente com uma quantidade de calor conhecida e constante igual a 1000 cal. Após estabelecido regime permanente, o Cadete aferiu durante 5,0 minutos as temperaturas interna e externa, obtendo respectivamente, Ti = 50 ºC e Te = 25 ºC. Nessas condições, a condutibilidade térmica, em W . m-1 . K-1, medida pelo Cadete, vale
- A) 1,2 x 10-2
- B) 1,4 x 10-2
- C) 1,6 x 10-2
- D) 2,0 x 10-2
Resposta:
A alternativa correta é letra B) 1,4 x 10-2
Gabarito: LETRA B.
Para determinar a condutibilidade térmica (k) do material, podemos usar a Lei da Condução de Calor, que relaciona a transferência de calor através de um material a partir da variação de temperatura e outras propriedades do material. A equação que descreve a condução de calor é:
Phi = dfrac {k cdot A cdot Delta T} { ε }
Onde: - Phi = dfrac Q {Delta t} é a taxa de transferência de calor ( em W, ou J/s) - k é a condutibilidade térmica do material em W cdot m^{-1} cdot K^{-1} - A é área de transferência de calor (em m^2)
- Delta T é a diferença de temperatura (T_{interno} - T_{externo}, em K) - ε é a espessura do material (em m)
Assim, temos que:
dfrac Q {Delta t} = dfrac{k cdot A cdot Delta T} {ε}
k = dfrac{ Q cdot ε } { Delta t cdot A cdot Delta T} tag 1
Primeiro, precisamos converter a quantidade de calor fornecida para o sistema de calorias para joules, sabendo que 1 caloria é aproximadamente igual a 4,184 joules:
Q = 1000 , cal = 1000 cdot 4,184 , J = 4184 , J
Do enunciado, temos que ε = 3 mm = 0,003 , m e Delta t = 5 , min = 300 , s. A área de transferência de calor (A) é a área da superfície interna do tubo, que é dada por
A_{int} = 2pi r_{int} L
Onde r_{int} é o raio interno e L é o comprimento do tubo. Do enunciado, temos que o raio externo é r = 10 cm e a espessura é ε = 3 mm. Assim, temos que r_{int} = r - ε = 0,10 - 0,003 = 0,097 , m. Então, temos que:
A_{int} = 2pi r_{int} L
A_{int} = 2 cdot pi cdot 0,097 cdot 0,20
A_{int} = 0,0388 pi , m^2
A diferença de temperatura é dada por:
Delta T = T_{interno} - T_{externo} = 50 °C - 25 °C = 25 °C
Como uma variação de 1°C é equivalente à variação de 1 K, temos que Delta T = 25 , K.
Então, substituindo os valores na equação (1), temos:
k = dfrac{ 4184 cdot 0,003 } { 300 cdot 0,0388 pi cdot 25}
k = dfrac{ 12,552 } { 291 pi }
k approx 1,4 times 10^{-2} , W cdot m^{-1} cdot K^{-1}
Portanto, a resposta correta é a alternativa (b).
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