Um cilindro metálico, de comprimento L e de seção reta circular de raio R, está submetido em suas extremidades circulares a temperaturas T e T + DeltaT. A superfície lateral do cilindro está isolada termicamente. O cilindro, então, conduz calor de modo que o fluxo entra pela superfície a temperatura T T + Delta e sai pela superfície a temperatura T, a uma distância L da primeira. A condutividade térmica do material que constitui o cilindro é k. Um outro cilindroé construído com um material diferente, de modo que sua condutividade térmica é k’, seu raio é R’ = 2R, e seu comprimento é L’ = 2L, mas esse outro cilindro conduz exatamente a mesma quantidade de calor por unidade de tempo que o primeiro cilindro, quando submetido à mesma diferença de temperatura DeltaT.
Nessas condições, o valor da razão k’/k é
- A) 1/2
- B) 1/4
- C) 1/8
- D) 1
- E) 2
Resposta:
A alternativa correta é letra A) 1/2
A condutividade térmica é uma propriedade física dos materiais, capaz de descrever a dinâmica de condução de calor. A condutividade térmica de um material k de uma espessura L, de superfície de área A, pelo qual atravessa uma quantidade de calor Q durante um intervalo de tempo Delta t, devido a uma variação de temperatura Delta theta é dada por:
k = dfrac {Q} {A Delta t} dfrac {L} {Delta theta}
k = dfrac {Q} {pi R^2 Delta t} dfrac {L} {Delta theta}
A condutividade do cilindro com material diferente é dado por:
k’ = dfrac {Q} {pi R’^2 Delta t} dfrac {L’} {Delta theta}
Como R’ = 2R e L’ = 2L, temos:
k’ = dfrac {Q} {pi (2R)^2 Delta t} dfrac {2L} {Delta theta}
k’ = dfrac {Q} {pi cdot 4 R^2 Delta t} dfrac {2L} {Delta theta}
k’ = dfrac {1}{2} cdot dfrac {Q} {pi R^2 Delta t} dfrac {L} {Delta theta}
Assim, temos:
dfrac {k’}{k} =dfrac {dfrac {1}{2} cdot dfrac {Q} {pi R^2 Delta t} dfrac {L} {Delta theta}}{dfrac {Q} {pi R^2 Delta t} dfrac {L} {Delta theta}}
dfrac {k’}{k} =dfrac {1}{2}
Portanto, a resposta correta é a alternativa (A).
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