Um mole de um gás monoatômico ideal, inicialmente a uma temperatura T, se expande de um volume V até um volume 2V em duas situações:

A alternativa correta é letra A) O trabalho realizado na situação (i) é maior que o trabalho realizado na situação (ii); o calor absorvido na situação (i) é menor que o calor absorvido na situação (ii).

Podemos representar as transformações do gás através do diagrama PxV a seguir:

 

 

No gráfico acima, a curva em azul é uma isoterma. Assim, a transformação do gás na situação (i) vai do ponto A até o ponto B, percorrendo a curva isoterma. Na situação (ii), o gás vai do ponto A até o ponto C percorrendo uma linha horizontal (pressão constante).

 

Do gráfico, a área sob a curva da transformação é numericamente igual ao trabalho realizado pelo gás. Na situação (i), temos uma transformação isotérmica. Logo, podemos ilustrar o trabalho realizado no diagrama PxV mostrado na figura a seguir:

 

 

Para a situação (ii), podemos representar a transformação na figura a seguir:

 

 

Podemos verificar que a área verde (trabalho da transformação isobárica) é maior do que a área amarela (trabalho da transformação isotérmica). Logo, o trabalho realizado na situação (i) é MENOR que o trabalho realizado na situação (ii).

 

De acordo com a primeira lei da termodinâmica, podemos calcular a quantidade de calor trocada através da equação:

 

Q = Delta U + W

 

Em uma transformação isotérmica, como a situação (i), a variação da energia interna é nula. Assim, temos:

 

Q = W

 

Podemos calcular o trabalho realizado em uma transformação isotérmica da seguinte forma:

 

W_{i} = W_{A rightarrow B} = displaystyle int_{A}^{B} p dV = displaystyle int_{A}^{B} dfrac{nRT}{V} dV =nRT displaystyle int_{A}^{B} dfrac{1}{V} dV = nRT ln dfrac{V_B}{V_A}

  

Logo,

 

W_{i} = nRT ln dfrac{2V}{V}

 

W_{i} = nRT ln 2

 

Assim, o calor transferido na situação (i) é Q_i = ln 2 cdot nRT

 

Na situação (ii), a pressão é constante e o trabalho pode ser calculado como:

 

W_{ii} = W_{A rightarrow C} = displaystyle int_{A}^{C} P dV = P displaystyle int_{A}^{C} dV = P (V_C - V_A)

 

W_{ii} = P( 2V - V) = PV

 

Ou então:

 

W_{ii} = nRT

 

A variação da energia interna de um gás monoatômico ideal é dado por:

 

Delta U = dfrac{3}{2} nR Delta T

 

Logo, o calor transferido na situação (ii) pode ser calculado da seguinte forma:

 

Q_{ii} = Delta U_{ii} + W_{ii}

 

Q_{ii} = dfrac{3}{2} nR (T_C - T) + nRT

 

Ainda, temos que:

 

dfrac{P_A V_A}{T_A} = dfrac{P_C V_C}{T_C}

 

dfrac{cancel P cancel V}{T} = dfrac{cancel P 2cancel V}{T_C}

 

T_C = 2 T

 

Logo

 

Q_{ii} = dfrac{3}{2} nR (2T - T) + nRT

 

Q_{ii} = dfrac{3}{2} nRT + nRT

 

Q_{ii} = dfrac{5}{2} nRT

 

Sabemos que ln 2 approx 0,69 e dfrac {5}{2} = 2,5. Então, podemos escrever,

 

ln 2 < dfrac{5}{2}

 

Como ln 2 < 1, podemos escrever:

 

ln 2 cdot nRT < dfrac{5}{2} cdot nRT

 

Q_i < Q_{ii}

 

Apesar da banca indicar a alternativa (A) como gabarito da questão, a resposta correta seria a alternativa (D), pois o trabalho realizado na situação (i) é menor que o trabalho realizado na situação (ii) e o calor absorvido na situação (i) é menor que o calor absorvido na situação (ii).

 

O gabarito oficial da banca indicou a resposta (A) como correta,