Um quadro quadrado de lado ell e massa m, feito de um material de coeficiente de dilatação superficial beta, é pendurado no pino O por uma corda inextensível, de massa desprezível, com as extremidades fixadas no meio das arestas laterais do quadro, conforme a figura. A força de tração máxima que a corda pode suportar é F. A seguir, o quadro é submetido a uma variação de temperatura Delta T, dilatando. Considerando desprezível a variação no comprimento da corda devida à dilatação, podemos afirmar que o comprimento mínimo da corda para que o quadro possa ser pendurado com segurança é dado por

A alternativa correta é letra E)  ( ) 2 ell F sqrt{(1, + , beta Delta T), / (4F^2 , - , m^2g^2)}.

Devido à variação de temperatura Delta T, o quadro sofrerá uma dilatação superficial dada por:

A' = A ( 1 + beta Delta T )

Onde A é a sua área inicial e A' a sua área final. Se ell é o lado do quadrado inicialmente e ell' o lado do quadrado após a dilatação térmica, a equação acima se torna:

{ell'}^2 = {ell}^2 ( 1 + beta Delta T )

Então,

ell' = {ell} sqrt{ 1 + beta Delta T } tag{1}

Seja d o comprimento da corda. Após a dilatação, teremos a situação a seguir:

Para que haja equilíbrio, devemos ter:

2 F cos theta = P

Logo,

2 F cos theta = mg

cos theta = dfrac { mg } { 2 F } tag{2}

Da figura acima, ainda temos que:

sin theta = dfrac { dfrac { ell' } { 2 } } { dfrac { d } { 2 } }

sin theta = dfrac { ell' } { d }

Substituindo-se ell' de  (1), temos que:

sin theta = dfrac { {ell} sqrt{ 1 + beta Delta T } } { d } tag{3}

Aplicando-se a identidade trigonométrica sin^2 theta + cos^2 theta = 1 e substituindo-se (2) e (3), temos:

left( dfrac { {ell} sqrt{ 1 + beta Delta T } } { d } right)^2 + left( dfrac { mg } { 2 F } right)^2 = 1

dfrac { {ell}^2 left( 1 + beta Delta T right) } { d^2 } + dfrac { m^2 g^2 } { 4 F^2 } = 1

dfrac { {ell}^2 left( 1 + beta Delta T right) } { d^2 } = 1 - dfrac { m^2 g^2 } { 4 F^2 }

dfrac { {ell}^2 left( 1 + beta Delta T right) } { d^2 } = dfrac { 4 F^2 - m^2 g^2 } { 4 F^2 }

d^2 = dfrac { 4 F^2 {ell}^2 left( 1 + beta Delta T right) } { 4 F^2 - m^2 g^2 }

d = sqrt { dfrac { 4 F^2 {ell}^2 left( 1 + beta Delta T right) } { 4 F^2 - m^2 g^2 } }

d = 2 F {ell} sqrt { dfrac { left( 1 + beta Delta T right) } { left( 4 F^2 - m^2 g^2 right) } }

Portanto, a resposta correta é a alternativa (E).