Um relógio de pêndulo, constituído de uma haste metálica de massa desprezível, é projetado para oscilar com período de 1,0 s, funcionando como um pêndulo simples, a temperatura de 20 °C. Observa-se que, a 35 °C, o relógio atrasa 1,8 s a cada 2,5 h de funcionamento. Qual é o coeficiente de dilatação linear do material que constitui a haste metálica?

A alternativa correta é letra E) 2,7 x 10^-5 °C^-1

Sendo:

• L_0: comprimento inicial do pêndulo a 20^circ C;
• L: comprimento do pêndulo a 35^circ C;
• Equação da dilatação linear: L = L_0(1+alpha Delta theta)
• T_0: Período de oscilação a 20^circ C = 1 mbox{ s};
• T: Período de oscilação a 35^circ C;
• theta_0: temperatura inicial = 20^circ C;
• theta: temperatura final= 35^circ C;
• Delta theta = theta - theta_0 = 35-20 = 15^circ C.

Vamos encontrar o período do pêndulo que sofreu dilatação e está atrasando. Transformando 2,5 horas em segundos, temos:

2,5 color{brown}{mbox{ h}} = 2,5 times color{brown}{3,600 mbox{ s}} = 9,000 mbox{ s}

Logo, o relógio atrasa 1,8 segundos em 9000 segundos. Para o relógio normal em 2,5 horas o pêndulo demoraria 9000 segundos para realizar as 9000 oscilações, já para o relógio que sofreu dilatação o pêndulo demoraria (9000+1,8) segundos para realizar as mesmas 9000 oscilações. Como o período é tempo gasto por oscilação, temos:

T_0 = dfrac{9,000}{9,000} = 1

T = dfrac{9,001,8}{9,000} = 1,0002

Sabendo que o período do pêndulo simples é dado por:

bbox[8px, border: 1px solid black]{color{black}{T = 2pi sqrt{dfrac{L}{g}}}}

Temos:

T_0 = 2pi sqrt{dfrac{L_0}{g}} = 1tag {1}

T =  2pi sqrt{dfrac{L}{g}} = 1,0002 tag{2}

Dividindo a equação (2) pela (1) temos:

dfrac{2pi sqrt{dfrac{L}{g}}}{2pi sqrt{dfrac{L_0}{g}}} = dfrac{1,0002}{1}

2pi sqrt{dfrac{L}{g}}times dfrac{1}{2pi}sqrt{dfrac{g}{L_0}} = 1,0002

cancel{2pi} sqrt{dfrac{L}{cancel{g}}}times dfrac{1}{cancel{2pi}}sqrt{dfrac{cancel{g}}{L_0}} = 1,0002

sqrt{dfrac{L}{L_0}} = 1,0002

Substituindo (L) pela expressão da dilatação linear:

sqrt{dfrac{ L_0(1+alphaDelta theta)}{L_0}}=1,0002

sqrt{dfrac{ cancel{L_0}(1+alphaDelta theta)}{cancel{L_0}}} = 1,0002

Elevando os dois membros ao quadrado e substituindo (Delta theta):

(sqrt{1+alphaDelta theta})^{2}=(1,0002)^2

1+alpha cdot 15=1,0004

15alpha = 1,0004-1

alpha = dfrac{0,0004}{15}

alpha = 2,67times 10^{-5}

bbox[8px, border: 2px solid black]{color{#3498db}{alpha approx 2,7 times 10^{-5} ,,{^{circ}C}^{-1}}}

Portanto, o coeficiente de dilatação linear do material que constitui a haste metálica vale color{#3498db}{2,7 times 10^{-5} ,,{^{circ}C}^{-1}}.