Uma esfera homogênea de raio R, cuja densidade é de 2,7g/ cm^3 e o calor específico vale 0,2 callgºC, está a uma temperatura de -100ºC. Coloca-se essa esfera em um reservatório, isolado termicamente e de capacidade térmica desprezível, que contém 0,1 litro de água a 0ºC. Qual o valor mínimo de R, em centímetros, para que toda a água congele?

A alternativa correta é letra D) 3,3

Gabarito: D

Uma esfera homogênea de raio R, cuja densidade é de 2,7g/ cm^3 e o calor específico vale 0,2 cal/gºC, está a uma temperatura de -100ºC. Coloca-se essa esfera em um reservatório, isolado termicamente e de capacidade térmica desprezível, que contém 0,1 litro de água a 0ºC. Qual o valor mínimo de R, em centímetros, para que toda a água congele?

Dados: massa específica da água = 1,0 g/cm³

calor latente de fusão da água = 80 cal/g.

Resolução:

Primeiramente, vamos calcular a quantidade de calor necessária para congelar 0,1 litro de água a 0°C utilizando a equação do calor latente:

Q = mL

Lembrando que, para água, 0,1 l = 0,1 kg = 100 g, Logo,

Q = 100 cancel g cdot 80 dfrac { cal } { cancel g }

Q = 8.000 , cal

Agora, utilizando a equação do calor sensível, vamos calcular a massa da esfera que será capaz de fornecer essa quantidade de calor ao variar sua temperatura em 100°C ( de -100°C até 0°C):

Q = m c Delta theta

8.000 cancel {cal} = m cdot 0,2 dfrac { cancel {cal} } { g cancel {°C } } cdot 100 cancel {°C }

m = 400 , g

Sabendo a massa m e a densidade rho  da esfera, podemos calcular o seu volume:

v = dfrac { m } { rho }

Logo,

v = dfrac { 400 cancel g } { 2,7 cancel g / cm^3 }

v = dfrac { 400 } { 2,7 }cm^3

Entretanto, sendo R o valor do raio da esfera, temos que:

v = dfrac { 4 pi R^3 } 3 = dfrac { 400 } { 2,7 }cm^3

Logo,

R^3 = dfrac { 3 cdot 400 } { 2,7 cdot 4 pi }cm^3

Para facilitar os cálculos a fim de encontrar a alternativa correta, vamos usar pi approx 3. Logo,

R^3 = dfrac { cancel 3 cdot {cancel {400}}^{100} } { 2,7 cdot cancel 4 cancel pi }cm^3

R^3 = dfrac { 100 } { 2,7 }cm^3

R^3 = dfrac { 1000 } { 27 }cm^3

R = sqrt[3]{ dfrac { 1000 } { 27 }cm^3 }

R = dfrac { 10 } { 3 } cm

R = 3,33 , cm

Portanto, a resposta correta é a alternativa (d)  3,3.