Uma esfera tem raio R, massa específica ρ, calor específico cp e condutividade térmica k. A temperatura média inicial da esfera é T0. No instante t = 0, a esfera é imersa em um fluido refrigerante, com temperatura constante Ta. O coeficiente de transferência de calor convectiva entre a esfera e o fluido é h.

A alternativa correta é letra E)

large{rho c_p R over 3h}

Gabarito: LETRA E.

A equação da evolução temporal da temperatura média da esfera pode ser obtida a partir da equação do balanço de energia para a esfera, que considera a taxa de transferência de calor da esfera, a taxa de transferência de calor por condução e a taxa de transferência de calor por convecção. Assim, a equação do balanço de energia para a esfera é dada por:

dot Q = dot Q_{conv} + dot Q_{cond} tag 1

A taxa de transferência de calor da esfera é dada por dot Q = m c_p dfrac { dT } { dt }, onde m é a massa da esfera. Como m = rho V, sendo V o volume da esfera, temos:

dot Q = rho dfrac { 4 pi R^3 } 3 c_p dfrac { dT } { dt } 

Onde R é o raio da esfera.

A taxa de transferência de calor por convecção é dada pela lei de resfriamento de Newton:

dot Q_{conv} =- hA ( T - T_a )

Onde h é o coeficiente de transferência de calor convectiva, A é a área da superfície da esfera, T_a é a temperatura do fluido e T a temperatura da esfera. Como A = 4 pi R^2, temos:

dot Q_{conv} = - 4 pi R^2 h ( T - T_a )

Para um número de Biot pequeno, a condução térmica é insignificante em comparação com a convecção, então a taxa de transferência de calor por condução é aproximadamente zero. Assumindo isso, a equação (1) do balanço de energia se simplifica para:

rho dfrac { cancel{ 4 pi } R^{ cancel{ 3 } } } 3 c_p dfrac { dT } { dt } = -cancel{ 4 pi } cancel{ R^2} h ( T - T_a )

dfrac 1 { T - T_a } , dT = -dfrac { 3h } { rho c_p R } , dt

Agora, podemos integrar ambos os lados:

displaystyle{ int dfrac 1 { T - T_a } , dT = -int dfrac { 3h } { rho c_p R } , dt }

ln left| T - T_a right| = -dfrac { 3h } { rho c_p R } t+C_1

Onde C_1 é uma constante de integração. Agora, vamos rearranjar para encontrar a solução de T(t) aplicando exponenciais em ambos os lados:

|T - T_a| = e^{ -frac { 3h } { rho c_p R } t+C_1 }

|T - T_a| = e^{ -frac { 3h } { rho c_p R } t } cdot e^{C_1}

|T - T_a| = e^{- frac { 3h } { rho c_p R } t } cdot C_2

T = T_a + C_2 e^{ -frac { 3h } { rho c_p R } t }

Comparando a equação acima com a do enunciado, podemos escrever:

-dfrac { 3h } { rho c_p R } = - dfrac 1 tau

Logo,

tau = dfrac { rho c_p R } { 3h }

Portanto, a resposta correta é a alternativa (e).