Uma haste metálica, a 0ºC, mede 1,0 m, conforme indicação de uma régua de vidro na mesma temperatura. Quando a haste e a régua são aquecidas a 300ºC, o comprimento da haste medido pela régua passa a ser de 1,006 m. Com base nessas informações, o coeficiente de dilatação linear do material que constitui a haste é

A alternativa correta é letra B) 2,9 x 10^-5 ºC^-1

A equação para a dilatação térmica linear é:

Delta L = alpha cdot L_0 cdot Delta theta

Onde:

• Delta L : Variação de comprimento = L_f-L_0
• alpha : coeficiente de dilatação linear
• L_0 : comprimento inicial
• Delta theta : variação de temperatura = theta_f - theta_i

A dilatação térmica sofrida pela haste metálica (Delta L_h) será igual a soma da  dilatação medida pela régua, ou seja, a dilatação aparente (Delta L_{ap}), com a dilatação térmica sofrida pelo vidro (Delta L_v). Em equações, temos:

Delta L_h=Delta L_{ap} + Delta L_{v}

Substituindo a expressão da dilatação térmica, temos:

(alpha cdot L_0 cdot Delta theta)_{h} = (alpha cdot L_0 cdot Delta theta)_{ap}+(alpha cdot L_0 cdot Delta theta)_{v}

Como o comprimento inicial (L_0) da haste e da régua são iguais, pois a medida foi feita por comparação entre a régua e a haste, e a variação de temperatura (Delta theta) também é a mesma, podemos simplificar a equação anterior:

(alpha cdot cancel{L_0} cdot bcancel{Delta theta})_h = (alpha cdot cancel{L_0} cdot bcancel{Delta theta})_{ap}+(alpha cdot cancel{L_0} cdot bcancel{Delta theta})_v

alpha _h = alpha _{ap} +alpha _v tag {I}

Portanto o coeficiente de dilatação linear da haste metálica (alpha _h) será a soma do coeficiente de dilatação linear aparente (alpha_{ap}) e o coeficiente de dilatação linear do vidro (alpha_v), que foi dado.

Para calcular o alpha _{ap}, aplicamos a expressão:

Delta L_{ap} = (alpha cdot {L_0} cdot Delta theta)_{ap}

(1,006-1,000)=alpha _{,ap} cdot 1 cdot (300-0)

alpha _{,ap} = dfrac{0,006}{300}=dfrac{6times 10^{-3}}{3 times {10^2}}=2 times 10^{-3-2}

alpha _{,ap} = 2 times 10^{-5} ,°C^{-1}

Voltando à equação (I), temos:

alpha _h = alpha _{ap} +alpha _v

alpha _h = 2 times 10^{-5} + 9 times 10^{-6}

alpha _h = 2 times 10^{-5} + 0,9 times 10^{-5}

bbox[8px, border: 2px solid #3498db]{color{#3498db}{alpha _h = 2,9 times 10^{-5} , °C^{-1}}}

Portanto o coeficiente de dilatação linear do material que constitui a haste é ,color{#3498db}{2,9 times 10^{-5} , °C^{-1}} , conforme consta na alternativa B.