Uma tubulação cilíndrica deve ser projetada para o transporte de água sob temperatura elevada. Os dados de projeto dessa tubulação são:
Raio interno: r_i [m]
Raio externo: r_e [m]
Comprimento: L [m]
Temperatura na superfície interna: T_i [ºC]
Temperatura na superfície externa: T_e [ºC]
Condutividade térmica do material formador da tubulação:
K [W m^{-1} ºC^{-1}
A resistência térmica associada a essa tubulação corresponde a
- A) { large In(r_e/r_i) over 2 . pi . K . L}
- B) { large 2 . pi . K . L over In(r_e/r_i)}
- C) { large 2 . pi In(r_e/r_i) over (K.L)}
- D) { large r_e/ r_i over 2 . pi . K . L}
- E) { large 2 . pi . K . L over r_e/ r_i}
Resposta:
A alternativa correta é letra A) { large In(r_e/r_i) over 2 . pi . K . L}
No estudo de transferência de calor, vemos que a equação geral da condução de calor para materiais isotrópicos (condutividade uniforme e constante)
nabla^2 T + dfrac {{q_g}^{'''}}{k} = dfrac {1}{alpha} dfrac { partial T} {partial t}
Onde nabla^2 = dfrac {partial^2}{partial x^2} +dfrac {partial^2}{partial y^2} +dfrac {partial^2}{partial z^2} é o operador matemático Laplaciano, T é a função de distribuição de temperatura, {q_g}^{'''} é a taxa de calor gerado no interior do volume, k é a condutividade térmica e alpha é a difusividade térmica.
A condução unidimensional em regime permanente sem geração interna de calor aplicada em um tubo cilíndrico, utilizando o Laplaciano para coordenadas cilíndricas e fazendo as devidas simplificações, resulta em:
dfrac {d}{dr} left( r dfrac {dT} {dr} right) = 0
Solucionando a equação diferencial acima e aplicando as condições de contorno, temos que a distribuição da temperatura assume a forma:
T(r) = T_i - dfrac {T_i - T_e}{ ln (r_e/r_i)} cdot ln(r/r_i)
O fluxo de calor é obtido na aplicação da Lei de Fourier, dada por dot {q} = - k A dfrac {dT}{dr}, onde A = 2 pi r L. Assim, temos:
dot {q} = 2 pi k L dfrac {T_e - T_i}{ ln (r_i/r_e)}
dot {q} = dfrac {2 pi k L}{ ln (r_i/r_e)} Delta T
Assim, temos que a resistência térmica é dada por:
R_T = dfrac { Delta T} {dot {q}}
R_T = dfrac { ln (r_i/r_e)} {2 pi k L}
Portanto, a resposta correta é a letra (A).
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