Calcule o trabalho mecânico total, em joules, realizado na movimentação de um objeto, na direção anti-horária e na trajetória de uma volta completa em torno da circunferência x2 + y2 = 4, sabendo que o movimento do objeto é causado pela ação de uma força, em newtons, F(x , y) = (-y/(x2+y2),x/(x2+y2)), com { x , y ) ∈ U = R2 – {(0,0)}.A seguir,assinale a opção correta.
Calcule o trabalho mecânico total, em joules, realizado na movimentação de um objeto, na direção anti-horária e na trajetória de uma volta completa em torno da circunferência x2 + y2 = 4, sabendo que o movimento do objeto é causado pela ação de uma força, em newtons, F(x , y) = (-y/(x2+y2),x/(x2+y2)), com { x , y ) ∈ U = R2 – {(0,0)}.A seguir,assinale a opção correta.
- A)2
- B)2π
- C)π2
- D)4π
- E)4
Resposta:
A alternativa correta é B)
Para calcular o trabalho mecânico total, precisamos integrar a força F(x, y) ao longo da trajetória. Como a trajetória é uma circunferência de raio 2, podemos parametrizar a curva como x = 2cos(t) e y = 2sen(t), com 0 ≤ t ≤ 2π.
Portanto, a força pode ser escrita como F(t) = (-2sen(t)/4, 2cos(t)/4) = (-sen(t)/2, cos(t)/2).
O trabalho mecânico total é dado por:
W = ∫F(t) · dr = ∫[0, 2π] (-sen(t)/2, cos(t)/2) · (-2sen(t), 2cos(t)) dt
W = ∫[0, 2π] (sen2(t) + cos2(t)) dt = ∫[0, 2π] 1 dt = t|[0, 2π] = 2π
Portanto, o trabalho mecânico total é de 2π joules.
Assim, a opção correta é:
- B) 2π
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