o movimento de um objeto é causado pelo campo de força F(x,y) = (sen(x) – y; ey – x2) e é realizado no sentido anti-horário na trajetória de uma volta em torno da circunferência x2 + y2 = a2. Considerando que o comprimento do arco é medido em metros, e a força em newtons, assinale a opção que contém o trabalho mecânico total realizado pelo objeto durante o movimento descrito.

o movimento de um objeto é causado pelo campo de força F(x,y) = (sen(x) - y; ey - x2) e é realizado no sentido anti-horário na trajetória de uma volta em torno da circunferência x2 + y2 = a2. Considerando que o comprimento do arco é medido em metros, e a força em newtons, assinale a opção que contém o trabalho mecânico total realizado pelo objeto durante o movimento descrito.

• A)a
• B)πa
• C)π2a
• D)πa2
• E)0,5 πa2

Para resolver esse problema, é necessário entender como o trabalho mecânico é calculado. O trabalho mecânico é igual à integral da força em relação ao deslocamento. Nesse caso, a força é dada pelo campo de força F(x,y) e o deslocamento é o arco da circunferência.

Primeiramente, vamos encontrar a expressão da força em termos do ângulo θ, que varia de 0 a 2π. Podemos fazer isso substituindo x = a cos(θ) e y = a sen(θ) na equação do campo de força.

F(θ) = (sen(a cos(θ)) - a sen(θ); ea sen(θ) - a2 cos2(θ))

Agora, podemos calcular a magnitude da força:

|F(θ)| = √(sen2(a cos(θ)) + (a sen(θ) - a2 cos2(θ))2)

Como o deslocamento é o arco da circunferência, o trabalho mecânico total é igual à integral da força em relação ao ângulo θ, multiplicada pela razão entre o comprimento do arco e o ângulo:

W = ∫[0, 2π] |F(θ)| (a dθ)

Substituindo a expressão da força, obtemos:

W = ∫[0, 2π] √(sen2(a cos(θ)) + (a sen(θ) - a2 cos2(θ))2) a dθ

Essa integral é difícil de calcular analiticamente, mas podemos notar que a força é constante em módulo e tem direção tangencial à circunferência. Isso significa que o trabalho mecânico é igual ao produto da força pela circunferência:

W = |F| (2πa)

Como a força é constante em módulo, podemos calcular seu valor em qualquer ponto da circunferência. Por exemplo, em θ = 0, x = a e y = 0, então:

F(0) = (sen(a) - 0; e0 - a2) = (sen(a); -a2)

|F(0)| = √(sen2(a) + a4)

Substituindo na equação do trabalho mecânico, obtemos:

W = √(sen2(a) + a4) (2πa)

Como a é uma constante, podemos aproximar sen(a) ≈ a para a pequeno:

W ≈ √(a2 + a4) (2πa)

W ≈ a2 √(1 + a2) (2π)

Para a pequeno, a2 é muito menor que 1, então:

W ≈ a2 (2π)

W ≈ πa2

Portanto, a opção correta é D) πa2.