Desde o seu descobrimento até os dias atuais a História do Brasil pode ser estudada através de seus ciclos econômicos. Mais precisamente na época da Proclamação da República, o Brasil vivia o ciclo:

A alternativa correta é letra C) do café.

Vamos analisar cada alternativa, para identificar o ciclo econômico que o Brasil vivia na época da Proclamação da República.

A) da borracha.

INCORRETO. O ciclo da borracha teve seu ápice entre o final do século XIX e o início do século XX, especialmente na região Norte do Brasil, em função da demanda internacional pelo látex da seringueira. No entanto, não era o ciclo econômico dominante no momento da Proclamação da República.

B) da cana-de-açúcar.

INCORRETO. O ciclo da cana-de-açúcar foi o primeiro grande ciclo econômico do Brasil, tendo seu auge no período colonial, entre os séculos XVI e XVII. Na época da Proclamação da República, o Brasil já não estava mais no ciclo da cana-de-açúcar.

C) do café.

CORRETO. O ciclo do café dominou a economia brasileira durante o século XIX até o início do século XX, especialmente na região Sudeste do Brasil. A Proclamação da República, em 1889, ocorreu durante o auge do ciclo do café, que foi fundamental para a consolidação da economia brasileira no período republicano.

D) do ouro.

INCORRETO. O ciclo do ouro ocorreu entre os séculos XVII e XVIII, principalmente na região das Minas Gerais. Na época da Proclamação da República, o Brasil já havia passado pelo ciclo do ouro.

E) do pau-brasil.

INCORRETO. O ciclo do pau-brasil foi o primeiro ciclo econômico do Brasil, ocorrendo no início do período colonial, no século XVI. Na época da Proclamação da República, o Brasil já havia passado há muito tempo pelo ciclo do pau-brasil.

Portanto, a alternativa correta é a LETRA C.