Questões Sobre Análise Combinatória - Matemática - concurso

A análise combinatória e a probabilidade são áreas fundamentais da matemática, com aplicações em diversos campos. No contexto apresentado, a alternativa correta é a A), que afirma existirem 328 números pares de três algarismos distintos. Vamos analisar brevemente cada opção para entender por que essa é a resposta correta.

Análise das alternativas:

• A) Verdadeira. Para formar um número par de três algarismos distintos, o último dígito deve ser par (0, 2, 4, 6 ou 8). Se o último dígito for 0, temos 9 opções para o primeiro algarismo (1-9) e 8 para o segundo (excluindo o primeiro e o 0), totalizando 9 × 8 × 1 = 72. Se o último dígito for 2, 4, 6 ou 8, o primeiro algarismo tem 8 opções (excluindo 0 e o último dígito), o segundo tem 8 (excluindo o primeiro e o último), e o terceiro tem 4 opções (2,4,6,8). Isso resulta em 4 × (8 × 8 × 1) = 256. Somando os dois casos, temos 72 + 256 = 328 números possíveis.
• B) Falsa. A inequação 2(m²) + m - m² > 0 se reduz a m² + m > 0. Para m ≥ 2, a expressão é positiva, mas para m = -1, por exemplo, não se sustenta. A afirmação não é universalmente válida para m ≥ 2.
• C) Falsa. O número de modos de distribuir 6 pessoas em 3 duplas é dado por (6!)/((2!)³ × 3!) = 15, não 20.
• D) Falsa. A probabilidade de obter soma 5 ao lançar dois dados é 4/36 = 1/9, pois existem 4 combinações possíveis (1+4, 2+3, 3+2, 4+1) em 36 resultados totais.
• E) Falsa. O número de modos de arrumar 6 pessoas em fila é 6! = 720, não 520.

Portanto, a alternativa A) é a única correta, confirmando que existem, de fato, 328 números pares de três algarismos distintos.

O problema apresentado envolve a análise combinatória aplicada a uma situação prática no Tribunal de Contas do Estado. Os funcionários são responsáveis por hastear 7 bandeiras diariamente, com duas condições específicas: a bandeira do Brasil sempre ocupa o primeiro mastro, e a sequência das demais bandeiras nunca se repete em dias diferentes.

Para resolver a questão, é necessário calcular o número total de permutações possíveis para as 6 bandeiras restantes (já que a primeira posição é fixa). Como a ordem das bandeiras importa e não há repetição, o número de sequências possíveis é dado pelo fatorial de 6 (6!), que equivale a 720.

Considerando que os funcionários realizam esse procedimento todos os dias, sem folgas, o tempo máximo que eles podem manter sequências únicas seria de 720 dias. Convertendo esse período para anos:

• 720 dias ÷ 365 ≈ 1,97 anos (aproximadamente 1 ano e 11 meses e meio)

Esse resultado se enquadra na alternativa B) "mais de 1 ano e meio e menos de 2 anos", que corresponde ao período entre 18 e 24 meses. Portanto, o gabarito correto é realmente a opção B.

O problema ilustra como conceitos matemáticos de permutação podem ser aplicados para resolver questões práticas de organização e logística, mesmo em contextos institucionais como o descrito.

O número total de partidas em um campeonato de pingue-pongue com 20 participantes, onde cada competidor joga uma única vez contra cada um dos demais, pode ser calculado utilizando a combinação simples. Nesse caso, como cada partida é disputada entre dois jogadores distintos, o total de combinações possíveis é dado por C(20, 2), que representa o número de maneiras de escolher 2 participantes entre os 20.

A fórmula para combinação é:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Substituindo os valores, temos:

C(20, 2) = 20! / (2! * 18!) = (20 × 19) / 2 = 190.

Portanto, o número total de partidas é 190, o que corresponde à alternativa D) 190.

O problema em questão aborda a disposição de cinco membros de um júri esportivo, sendo três homens e duas mulheres, em um mesmo lado de uma mesa. A afirmação a ser julgada sugere que, caso os homens fiquem agrupados de um lado e as mulheres do outro, a quantidade de maneiras distintas de organizar o júri seria igual a 18. O gabarito indica que essa afirmação está errada (E).

Para analisar a situação, é necessário considerar as possibilidades de organização. Primeiramente, temos dois grupos distintos: o grupo dos homens (3 membros) e o grupo das mulheres (2 membros). Dentro de cada grupo, os membros podem trocar de posição entre si, gerando diferentes arranjos.

No caso dos homens, como são três, o número de permutações possíveis é 3! (3 fatorial), que equivale a 6. Para as mulheres, sendo duas, o número de permutações é 2!, que resulta em 2. Além disso, os dois grupos (homens e mulheres) podem trocar de posição entre si, o que acrescenta mais uma possibilidade de variação.

Assim, o cálculo total de maneiras distintas seria: 3! (homens) × 2! (mulheres) × 2 (posições dos grupos) = 6 × 2 × 2 = 24. Portanto, a afirmação de que existem apenas 18 maneiras distintas está incorreta, confirmando que o gabarito E) ERRADO é o correto.

O problema apresentado envolve a organização dos membros de um júri esportivo composto por 3 homens e 2 mulheres, com a condição de que entre dois homens haja sempre apenas uma mulher. O objetivo é verificar se a quantidade de maneiras distintas de organizar o júri é igual a 12, conforme afirmado no item.

Para resolver essa questão, é necessário considerar as restrições impostas e calcular as possíveis permutações. A condição de que entre dois homens deve haver sempre uma mulher implica que os homens não podem ficar lado a lado sem que haja uma mulher separando-os. Isso sugere um arranjo específico, como alternar homens e mulheres.

Primeiramente, vamos analisar as posições possíveis. Como são 5 membros, podemos representar as posições como uma sequência de 5 lugares. Para satisfazer a condição, os homens devem estar separados por pelo menos uma mulher. Isso significa que os homens não podem ocupar posições adjacentes sem uma mulher entre eles.

Uma maneira de garantir essa condição é organizar os membros no padrão H-M-H-M-H, onde "H" representa um homem e "M" uma mulher. Nesse caso, os três homens ocupariam as posições 1, 3 e 5, enquanto as duas mulheres ocupariam as posições 2 e 4. Essa é a única configuração linear possível que atende à condição, pois qualquer outra disposição resultaria em pelo menos dois homens adjacentes sem uma mulher entre eles.

Dentro dessa configuração, os três homens podem ser permutados entre si nas três posições designadas, resultando em 3! (fatorial de 3) = 6 possibilidades. Da mesma forma, as duas mulheres podem ser permutadas entre si nas duas posições designadas, resultando em 2! (fatorial de 2) = 2 possibilidades. Multiplicando essas possibilidades, temos 6 (permutações dos homens) × 2 (permutações das mulheres) = 12 maneiras distintas de organizar o júri.

Portanto, o item está correto ao afirmar que a quantidade de maneiras distintas de organizar o júri, sob as condições dadas, é igual a 12. A resposta correta é:

• C) CERTO

Para resolver o problema proposto, é necessário calcular o número de maneiras distintas de posicionar os cinco membros do júri, considerando que as duas mulheres devem sempre ficar uma ao lado da outra. Vamos analisar a situação passo a passo.

Primeiro, tratamos as duas mulheres como um único bloco. Dessa forma, em vez de cinco indivíduos, temos quatro "entidades" para organizar: o bloco das mulheres e os três homens. O número de permutações possíveis para essas quatro entidades é dado por 4! (fatorial de 4), que resulta em 24.

No entanto, dentro do bloco das mulheres, elas podem trocar de lugar entre si. Como são duas mulheres, há 2! (fatorial de 2) maneiras de organizá-las dentro do bloco, ou seja, 2 possibilidades.

Multiplicando as permutações do bloco (24) pelas permutações internas das mulheres (2), obtemos o total de arranjos possíveis: 24 x 2 = 48.

Portanto, a quantidade de maneiras distintas de organizar o júri, com as mulheres sempre lado a lado, é 48, e não 36 como afirmado no enunciado. Concluímos que o item está ERRADO.

O problema apresentado envolve uma situação social em que há um número desconhecido de homens (x) e 8 mulheres em uma sala. As regras de cumprimentos são as seguintes:

• Os homens se cumprimentam entre si
• Os homens cumprimentam todas as mulheres
• As mulheres não se cumprimentam entre si

Sabendo que ocorreram 50 cumprimentos no total, precisamos determinar quantos homens havia na sala. O gabarito indica que a resposta correta é a alternativa D) 5.

Para resolver esse problema, podemos analisar os cumprimentos em duas partes:

1. Cumprimentos entre homens: Se há x homens, o número de cumprimentos entre eles é dado pela combinação de x homens tomados 2 a 2, ou seja, C(x,2) = x(x-1)/2.

2. Cumprimentos entre homens e mulheres: Cada homem cumprimenta todas as 8 mulheres, então temos x × 8 cumprimentos dessa natureza.

O total de cumprimentos é a soma dessas duas quantidades:

x(x-1)/2 + 8x = 50

Resolvendo essa equação:

x² - x + 16x = 100

x² + 15x - 100 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos que x = 5 é a solução positiva da equação. Portanto, havia 5 homens na sala, o que corresponde à alternativa D.

Esse problema ilustra bem como conceitos de combinatória podem ser aplicados em situações cotidianas aparentemente simples, mas que exigem uma análise cuidadosa das interações sociais e suas representações matemáticas.

No campeonato de xadrez deste ano, houve 30 inscritos. Na primeira fase do torneio, cada par de jogadores disputa uma única partida entre si. Para determinar o número total de jogos realizados nessa fase, podemos utilizar a combinação simples, que calcula quantos grupos distintos de dois jogadores podem ser formados a partir dos 30 participantes.

A fórmula da combinação é dada por:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Onde:

• n = número total de elementos (30 jogadores)
• k = tamanho do grupo (2 jogadores por partida)
• ! representa o fatorial do número

Aplicando os valores:

C(30, 2) = 30! / (2! * 28!) = (30 × 29) / (2 × 1) = 870 / 2 = 435 jogos.

Portanto, o número correto de jogos na primeira fase é 435, correspondente à alternativa A).

O problema apresentado envolve o cálculo do número de senhas distintas que podem ser criadas por uma agência bancária, seguindo uma estrutura específica: três letras distintas seguidas por quatro números distintos. Para resolver essa questão, é necessário aplicar os princípios básicos da análise combinatória, mais especificamente o princípio multiplicativo e o conceito de arranjos.

A senha possui a seguinte composição:

• Parte alfabética: 3 letras distintas, escolhidas de um alfabeto de 26 letras.
• Parte numérica: 4 números distintos, escolhidos de um conjunto de 10 algarismos (0 a 9).

Para calcular o número de possibilidades para a parte alfabética, como a ordem das letras importa e não há repetição, utilizamos o conceito de arranjo. O número de arranjos de 26 letras tomadas 3 a 3 é dado por:

26 × 25 × 24 = 15.600 possibilidades.

Para a parte numérica, também considerando que a ordem importa e os números devem ser distintos, o cálculo é semelhante. O número de arranjos de 10 algarismos tomados 4 a 4 é:

10 × 9 × 8 × 7 = 5.040 possibilidades.

Pelo princípio multiplicativo, o número total de senhas distintas é o produto das possibilidades das duas partes:

15.600 (letras) × 5.040 (números) = 78.624.000 senhas distintas.

Portanto, a alternativa correta é C) 78.624.000, conforme indicado no gabarito.

O problema apresentado envolve a análise probabilística da comunicação entre a Terra e Marte durante períodos de interferências eletromagnéticas, com foco na escolha de satélites para o envio de mensagens. O enunciado descreve as probabilidades de sucesso na transmissão para cada satélite (Y e Z) e questiona se o número de maneiras distintas de escolher os satélites para enviar cinco mensagens é superior a 30.

Para resolver essa questão, é necessário considerar que, para cada uma das cinco mensagens, há duas opções de satélites: Y ou Z. Portanto, o número total de combinações possíveis é calculado pelo princípio multiplicativo, resultando em 2^5 = 32 maneiras distintas de enviar as mensagens. Como 32 é maior que 30, a afirmação está correta.

Além disso, o contexto das probabilidades apresentadas no enunciado reforça a importância da escolha do satélite, já que Y e Z possuem taxas de sucesso diferentes na transmissão. No entanto, a questão em si não exige o cálculo dessas probabilidades, mas sim a contagem das possibilidades de combinação, que é independente das chances de sucesso.

Dessa forma, conclui-se que o item está CERTO (C), pois há 32 maneiras distintas de escolher os satélites para o envio das cinco mensagens, valor superior a 30 conforme afirmado.