Considerando os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}, quantos números inteiros de cinco algarismos distintos maiores que 64.000 podem ser formados?

Para resolver o problema, devemos determinar quantos números inteiros de cinco algarismos distintos, maiores que 64.000, podem ser formados com os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}.

Primeiramente, analisamos as condições necessárias:

1. O número deve ter cinco algarismos distintos.
2. O número deve ser maior que 64.000.

Para que o número seja maior que 64.000, o primeiro algarismo (da esquerda para a direita) deve ser 6, 7 ou 9, pois:

• Se o primeiro algarismo for 6, o segundo deve ser 4, 5, 7 ou 9, para que o número seja maior que 64.000.
• Se o primeiro algarismo for 7 ou 9, não há restrição para os algarismos seguintes, pois números como 70.000 ou 90.000 já são maiores que 64.000.

Vamos dividir o problema em casos:

Caso 1: O primeiro algarismo é 6

O segundo algarismo deve ser 4, 5, 7 ou 9 (para garantir que o número seja maior que 64.000). Os três algarismos restantes podem ser quaisquer dos elementos restantes do conjunto, desde que distintos.

• Primeiro algarismo: 1 possibilidade (6).
• Segundo algarismo: 4 possibilidades (4, 5, 7, 9).
• Terceiro, quarto e quinto algarismos: escolhidos entre os 6 elementos restantes (excluindo os dois já usados).

Total para este caso: 1 × 4 × 6 × 5 × 4 = 480 números.

Caso 2: O primeiro algarismo é 7 ou 9

Não há restrição para os algarismos seguintes, desde que sejam distintos.

• Primeiro algarismo: 2 possibilidades (7 ou 9).
• Segundo algarismo: 7 possibilidades (qualquer elemento do conjunto, exceto o primeiro algarismo).
• Terceiro, quarto e quinto algarismos: escolhidos entre os elementos restantes.

Total para este caso: 2 × 7 × 6 × 5 × 4 = 1.680 números.

Somando os dois casos, temos: 480 + 1.680 = 2.160 números possíveis.

Portanto, a alternativa correta é E) 2.160.