Em uma sala há x homens e 8 mulheres. Os homens cumprimentam­se entre si e cumprimentam todas as mulheres, mas as mulheres não se cumprimentam entre si. Houve 50 cumprimentos. Quantos homens haviam na sala?

O problema apresentado envolve uma situação social em que há um número desconhecido de homens (x) e 8 mulheres em uma sala. As regras de cumprimentos são as seguintes:

• Os homens se cumprimentam entre si
• Os homens cumprimentam todas as mulheres
• As mulheres não se cumprimentam entre si

Sabendo que ocorreram 50 cumprimentos no total, precisamos determinar quantos homens havia na sala. O gabarito indica que a resposta correta é a alternativa D) 5.

Para resolver esse problema, podemos analisar os cumprimentos em duas partes:

1. Cumprimentos entre homens: Se há x homens, o número de cumprimentos entre eles é dado pela combinação de x homens tomados 2 a 2, ou seja, C(x,2) = x(x-1)/2.

2. Cumprimentos entre homens e mulheres: Cada homem cumprimenta todas as 8 mulheres, então temos x × 8 cumprimentos dessa natureza.

O total de cumprimentos é a soma dessas duas quantidades:

x(x-1)/2 + 8x = 50

Resolvendo essa equação:

x² - x + 16x = 100

x² + 15x - 100 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos que x = 5 é a solução positiva da equação. Portanto, havia 5 homens na sala, o que corresponde à alternativa D.

Esse problema ilustra bem como conceitos de combinatória podem ser aplicados em situações cotidianas aparentemente simples, mas que exigem uma análise cuidadosa das interações sociais e suas representações matemáticas.