O diretor, o gerente e quatro funcionários de uma empresa sentam-se em volta de uma mesa circular com 6 lugares para uma reunião. Sabendo-se que o diretor e o gerente não sentam juntos (um ao lado do outro), o número de maneiras diferentes em que essas seis pessoas podem ficar dispostas em volta da mesa é

O problema apresentado envolve um cenário de análise combinatória, no qual seis pessoas – um diretor, um gerente e quatro funcionários – devem se sentar em torno de uma mesa circular com seis lugares, respeitando a condição de que o diretor e o gerente não fiquem lado a lado. Para resolver essa questão, é necessário calcular o número total de possibilidades de arranjo e, em seguida, subtrair as configurações em que as duas figuras de autoridade estão juntas.

Em arranjos circulares, a permutação de n elementos é dada por (n-1)!, pois a rotação dos participantes não gera novas disposições consideradas distintas. No caso, temos 6 pessoas, o que resulta em (6-1)! = 120 maneiras de organizá-las sem restrições. No entanto, a condição imposta exige que o diretor e o gerente não ocupem assentos adjacentes. Para calcular essa restrição, primeiro determinamos quantas dessas 120 configurações possuem os dois sentados juntos.

Tratar o diretor e o gerente como um único "bloco" reduz o problema a 5 elementos (o bloco mais os quatro funcionários). Em um arranjo circular, isso resulta em (5-1)! = 24 possibilidades. Dentro desse bloco, diretor e gerente podem trocar de lugar entre si, gerando mais 2 configurações (diretor-gerente ou gerente-diretor). Assim, o total de arranjos em que eles estão juntos é 24 × 2 = 48.

Subtraindo as situações indesejadas do total, temos: 120 - 48 = 72. Portanto, o número de maneiras válidas para dispor as seis pessoas na mesa, atendendo à condição estabelecida, é 72, o que corresponde à alternativa C).

Essa solução ilustra a aplicação de princípios combinatórios, como permutações circulares e restrições de adjacência, reforçando a importância de decompor problemas complexos em etapas mais simples para sua resolução eficiente.