Questões Sobre Análise Combinatória - Matemática - concurso

O problema apresentado envolve a formação de comissões a partir de um grupo de profissionais, sendo 3 geólogos e 4 engenheiros, totalizando 7 pessoas. A questão pede para calcular quantas comissões diferentes de 3 pessoas podem ser formadas com a condição de que haja pelo menos 1 geólogo em cada uma delas.

Para resolver esse tipo de problema, utilizamos conceitos de combinação, já que a ordem dos membros na comissão não importa. O cálculo pode ser feito de duas maneiras:

1. Método direto: Somar as possibilidades de comissões com exatamente 1 geólogo, exatamente 2 geólogos e exatamente 3 geólogos.
   • 1 geólogo e 2 engenheiros: C(3,1) × C(4,2) = 3 × 6 = 18
   • 2 geólogos e 1 engenheiro: C(3,2) × C(4,1) = 3 × 4 = 12
   • 3 geólogos: C(3,3) = 1
   Total: 18 + 12 + 1 = 31 comissões.


2. Método indireto: Calcular todas as comissões possíveis sem restrição e subtrair aquelas que não atendem ao critério (nenhum geólogo).
   • Total de comissões: C(7,3) = 35
   • Comissões sem geólogos (apenas engenheiros): C(4,3) = 4
   Total válido: 35 - 4 = 31 comissões.

Ambos os métodos levam ao mesmo resultado, confirmando que a alternativa correta é a B) 31. Esse tipo de abordagem é comum em problemas de análise combinatória, onde a restrição "pelo menos um" pode ser tratada de forma complementar para simplificar os cálculos.

Para resolver o problema proposto, é necessário determinar de quantas maneiras diferentes as três atividades (entrega de questionários, tabulação dos dados e análise dos dados) podem ser distribuídas entre um grupo de 5 pessoas, garantindo que cada tarefa tenha pelo menos uma pessoa responsável.

Primeiramente, devemos considerar que cada atividade deve ser atribuída a pelo menos uma pessoa, e que uma mesma pessoa pode realizar mais de uma tarefa. No entanto, a condição de que cada tarefa tenha pelo menos um responsável elimina a possibilidade de alguma atividade ficar sem ninguém designado.

O problema pode ser abordado utilizando o princípio da distribuição de funções, onde cada uma das 5 pessoas pode ser alocada para qualquer uma das 3 tarefas, desde que nenhuma tarefa fique vazia. Isso caracteriza uma função sobrejetora, onde todos os elementos do contradomínio (as tarefas) são mapeados por pelo menos um elemento do domínio (as pessoas).

O número de maneiras de distribuir 5 pessoas em 3 tarefas, garantindo que nenhuma tarefa fique sem pessoa, é dado pela fórmula:

3^5 - C(3,1)*2^5 + C(3,2)*1^5

Onde:

• 3^5 representa o total de maneiras de distribuir as pessoas sem restrições (243).
• C(3,1)*2^5 subtrai as distribuições onde pelo menos uma tarefa fica vazia (96).
• C(3,2)*1^5 adiciona novamente as distribuições onde duas tarefas ficam vazias (3), pois foram subtraídas em excesso no passo anterior.

Calculando:

243 - 96 + 3 = 150

Portanto, existem 150 maneiras diferentes de distribuir as três atividades entre as 5 pessoas, garantindo que cada tarefa tenha pelo menos um responsável. A alternativa correta é a D) 150.

O problema apresentado envolve um cálculo combinatório simples, relacionado à escolha de municípios na Bacia do Araguaia. Segundo os dados fornecidos, dos 24 municípios situados na área de estudo, 14 estão localizados no Pará (24 - 2 do Mato Grosso - 8 do Tocantins = 14 no Pará).

A questão solicita o número de maneiras distintas de escolher 3 municípios entre esses 14, sem considerar a ordem de visitação. Esse tipo de problema é resolvido utilizando combinações simples, onde a ordem dos elementos não importa.

A fórmula para combinações é dada por:

C(n, k) = n! / [k!(n - k)!]

Onde:

n = número total de elementos (14 municípios)

k = número de elementos a serem escolhidos (3 municípios)

! = fatorial

Aplicando os valores:

C(14, 3) = 14! / [3!(14 - 3)!] = (14 × 13 × 12) / (3 × 2 × 1) = 364

Portanto, existem 364 maneiras distintas de escolher 3 municípios entre os 14 disponíveis no Pará, confirmando que a alternativa correta é a C) 364.

O problema apresenta uma situação em que João deseja montar sua pizza com certas condições. Vamos analisar as possibilidades considerando que ele já escolheu a cebola como uma das coberturas.

Primeiramente, temos cinco tipos de cobertura disponíveis: presunto, calabresa, frango, cebola e azeitona. João já decidiu incluir a cebola, mas pode optar por adicionar mais nenhuma, uma ou duas coberturas extras, já que o número máximo de coberturas permitidas é três.

Vamos calcular as combinações possíveis:

1. Somente cebola: João escolhe apenas a cebola. Há apenas 1 maneira de fazer isso.
2. Cebola + uma cobertura extra: Ele pode escolher uma cobertura adicional entre as quatro restantes (presunto, calabresa, frango ou azeitona). Isso resulta em 4 combinações possíveis.
3. Cebola + duas coberturas extras: Aqui, ele escolhe duas coberturas adicionais dentre as quatro disponíveis. O número de combinações possíveis é dado por C(4,2) = 6.

Somando todas as possibilidades, temos: 1 (apenas cebola) + 4 (cebola + uma extra) + 6 (cebola + duas extras) = 11 modos distintos de montar a pizza.

Portanto, a alternativa correta é a B) 11.

Suponha que seu setor tenha 2 analistas plenos e 3 analistas juniores. Considerando que o seu setor estrutura-se internamente em grupos de trabalho e que cada equipe deve contar com um analista pleno, você poderá distribuí-los em _____________grupos de trabalho.

• A)2
• B)3
• C)4
• D)5
• E)6

O gabarito correto é E).

As Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio, conforme estabelecido no Parecer CEB nº 15/98, definem objetivos claros para a área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Esses objetivos visam desenvolver habilidades e competências que permitam aos estudantes compreender e interagir com o mundo de forma crítica e reflexiva. A seguir, analisamos como os tópicos matemáticos do Ensino Médio se relacionam com essas habilidades.

O primeiro objetivo (I) trata da compreensão do caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais, além do uso de instrumentos para medidas e probabilidades. Essa habilidade está diretamente associada ao Tratamento da Informação, que inclui noções de estatística e probabilidade.

O segundo objetivo (II) aborda a identificação e análise de variáveis representadas graficamente ou algebricamente, com ênfase em previsões e interpretações. Essa competência é trabalhada principalmente no estudo de Funções, que permite modelar relações e tendências.

O terceiro objetivo (III) refere-se à análise qualitativa de dados quantitativos em contextos diversos. Essa habilidade pode ser desenvolvida por meio da Informática, que facilita a visualização e interpretação de dados através de ferramentas tecnológicas.

O quarto objetivo (IV) destaca a aplicação do conhecimento geométrico para interpretar e agir sobre a realidade. Aqui, o tópico mais adequado é a Trigonometria, que fornece ferramentas para compreender formas, espaços e medidas.

Por fim, o quinto objetivo (V) explora a relação entre ciências naturais e tecnologia, associando soluções tecnológicas a problemas específicos. Essa competência está ligada à Análise Combinatória, que fornece bases para o raciocínio lógico e a resolução de problemas complexos.

Dessa forma, a sequência correta que associa os tópicos às habilidades, de cima para baixo, é: IV (Trigonometria) - II (Funções) - V (Análise Combinatória) - I (Tratamento da Informação) - III (Informática), correspondendo à alternativa C).

O problema apresentado envolve a distribuição de 63 agentes técnicos em 21 salas vazias, com as seguintes condições:

• Cada sala deve ter pelo menos um agente
• Cada agente ficará em apenas uma sala

Analisando as alternativas:

A) Haverá três agentes em cada sala - Incorreta. Embora a média seja de 3 agentes por sala (63/21), isso não significa que todas as salas terão exatamente 3 agentes.

B) Não haverá salas com quatro agentes - Incorreta. Nada impede que algumas salas tenham 4 ou mais agentes, desde que outras tenham menos para compensar.

C) Poderá haver uma sala com 50 agentes - Incorreta. Se uma sala tivesse 50 agentes, as outras 20 salas teriam que acomodar os 13 agentes restantes, o que seria impossível pois cada sala deve ter pelo menos 1 agente (20 salas × 1 agente = 20 agentes necessários, mas só restariam 13).

D) Haverá salas com um único agente - Incorreta. Embora seja possível, não é uma necessidade. Poderíamos ter, por exemplo, 19 salas com 2 agentes e 2 salas com 12,5 agentes (o que não é possível na prática, mas mostra que não é obrigatório ter salas com apenas 1 agente).

E) Haverá pelo menos uma sala com três ou mais agentes - Correta. Se tentarmos distribuir os agentes de forma que nenhuma sala tenha 3 ou mais (ou seja, no máximo 2 por sala), teríamos no máximo 42 agentes (21 salas × 2 agentes). Como temos 63 agentes, pelo menos 21 agentes adicionais precisam ser alocados, o que obriga que algumas salas tenham 3 ou mais agentes.

Portanto, a única conclusão necessária é que pelo menos uma sala terá três ou mais agentes, tornando a alternativa E a correta.

O problema apresentado envolve a combinação de moedas de 10 e 25 centavos para totalizar R$ 5,00, atendendo a condições específicas: pelo menos uma moeda de cada tipo e quantidades primas entre si. Vamos analisar como resolver essa questão.

Primeiro, definimos as variáveis:

• x: quantidade de moedas de 10 centavos (R$ 0,10)
• y: quantidade de moedas de 25 centavos (R$ 0,25)

A equação que representa o total é:

0,10x + 0,25y = 5,00

Multiplicando ambos os lados por 100 para facilitar os cálculos:

10x + 25y = 500

Simplificando a equação por 5:

2x + 5y = 100

Isolando x:

x = (100 - 5y) / 2

Para que x seja inteiro, (100 - 5y) deve ser par. Como 100 é par e 5y é ímpar se y for ímpar, y precisa ser par para garantir que a subtração resulte em um número par.

Além disso, as condições do problema exigem:

1. x ≥ 1 e y ≥ 1
2. MDC(x, y) = 1 (quantidades primas entre si)

Testando valores pares para y:

• y = 2: x = (100 - 10)/2 = 45 → MDC(45, 2) = 1 (válido)
• y = 4: x = (100 - 20)/2 = 40 → MDC(40, 4) = 4 (inválido)
• y = 6: x = (100 - 30)/2 = 35 → MDC(35, 6) = 1 (válido)
• y = 8: x = (100 - 40)/2 = 30 → MDC(30, 8) = 2 (inválido)
• y = 10: x = (100 - 50)/2 = 25 → MDC(25, 10) = 5 (inválido)
• y = 12: x = (100 - 60)/2 = 20 → MDC(20, 12) = 4 (inválido)
• y = 14: x = (100 - 70)/2 = 15 → MDC(15, 14) = 1 (válido)
• y = 16: x = (100 - 80)/2 = 10 → MDC(10, 16) = 2 (inválido)
• y = 18: x = (100 - 90)/2 = 5 → MDC(5, 18) = 1 (válido)

As combinações válidas são:

1. (x=45, y=2)
2. (x=35, y=6)
3. (x=15, y=14)
4. (x=5, y=18)

Portanto, existem quatro modos de atender ao pedido do comerciante, conforme a alternativa C).

O texto apresenta as regras para a criação de senhas de cartão de crédito, que consistem em quatro dígitos de 0 a 9, com duas restrições principais: não podem ter todos os algarismos iguais e não podem corresponder ao dia e mês de aniversário do titular. Além disso, o texto afirma que, se um indivíduo nasceu no primeiro semestre do ano, um número de quatro dígitos escolhido aleatoriamente teria mais de 99,9% de chance de ser uma senha válida. O gabarito indica que essa afirmação está errada (E).

Para justificar a resposta, é necessário analisar as probabilidades envolvidas. O total de combinações possíveis para uma senha de quatro dígitos é 10.000 (10^4). Dessas, apenas uma combinação corresponde a todos os dígitos iguais (por exemplo, 0000, 1111, etc.), totalizando 10 possibilidades proibidas. Além disso, há uma única combinação proibida referente ao dia e mês de aniversário do titular.

No caso de alguém que nasceu no primeiro semestre, o mês varia de 01 a 06. Portanto, a quantidade de senhas proibidas devido ao aniversário será igual ao número de dias válidos nesses meses. Considerando meses com 31 dias (janeiro, março, maio), 30 dias (abril, junho) e fevereiro com 28 dias (ou 29, em ano bissexto), o número máximo de combinações proibidas por aniversário seria 31 (para meses como janeiro). No entanto, mesmo no pior cenário, o total de senhas proibidas seria 10 (dígitos iguais) + 31 (aniversário) = 41.

Assim, a probabilidade de uma senha aleatória ser inválida seria 41/10.000 = 0,41%, e a probabilidade de ser válida seria de 99,59%. Como o enunciado afirma que a chance é maior que 99,9%, isso está incorreto, pois 99,59% é menor que 99,9%. Portanto, o gabarito E) ERRADO está correto.

Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem.

A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é igual a 60.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é C).