Questões Sobre Análise Combinatória - Matemática - concurso

O problema proposto envolve a distribuição de 4 rapazes e 4 moças em 4 bancos, cada um com dois lugares, de modo que em cada banco haja um rapaz e uma moça. Para resolver essa questão, é necessário considerar as possibilidades de organização tanto dos rapazes quanto das moças, bem como a disposição nos bancos.

Primeiramente, devemos organizar os rapazes e as moças nos bancos. Como cada banco acomoda um casal (um rapaz e uma moça), podemos pensar na disposição em duas etapas:

1. Permutação dos rapazes: Os 4 rapazes podem se sentar nos bancos de 4! (fatorial de 4) maneiras diferentes, o que resulta em 24 possibilidades.
2. Permutação das moças: Da mesma forma, as 4 moças também podem se sentar nos bancos de 4! maneiras, totalizando outras 24 possibilidades.

Além disso, para cada banco, o rapaz e a moça podem trocar de lugar entre si. Como há 4 bancos, cada um com duas posições possíveis (rapaz à esquerda e moça à direita, ou vice-versa), temos 2^4 = 16 maneiras de organizar os casais dentro dos bancos.

Multiplicando todas essas possibilidades, obtemos o número total de arranjos:

Total = 4! (rapazes) × 4! (moças) × 2^4 (posições nos bancos) = 24 × 24 × 16 = 9216.

Portanto, a alternativa correta é a D) 9216, conforme indicado no gabarito.

Para resolver o problema das possíveis combinações de decoração da sala de Marcelo, considerando as restrições impostas por Márcia, é necessário analisar as escolhas disponíveis e as condições estabelecidas.

Opções iniciais:

• Pisos: amarelo, branco ou marmorizado (3 opções).
• Azulejos: amarelo, branco, cinza ou azul (4 opções).
• Luminárias: simples ou com ventilador (2 opções).

Sem restrições, o total de combinações seria: 3 (pisos) × 4 (azulejos) × 2 (luminárias) = 24 possibilidades.

Restrição de Márcia: O azulejo azul só pode ser escolhido se o piso for branco. Portanto, devemos considerar dois cenários:

1. Caso 1: Azulejo azul é escolhido

   • Piso deve ser branco (1 opção).
   • Azulejo deve ser azul (1 opção).
   • Luminária pode ser simples ou com ventilador (2 opções).

   Total para este caso: 1 × 1 × 2 = 2 combinações.

2. Caso 2: Azulejo azul NÃO é escolhido

   • Piso pode ser amarelo, branco ou marmorizado (3 opções).
   • Azulejo pode ser amarelo, branco ou cinza (3 opções).
   • Luminária pode ser simples ou com ventilador (2 opções).

   Total para este caso: 3 × 3 × 2 = 18 combinações.

Total geral: 2 (Caso 1) + 18 (Caso 2) = 20 combinações possíveis.

Portanto, a alternativa correta é C) 20.

Utilize os dados abaixo para as próximas três (03) questões.

O Brasil tem aproximadamente 190.776.000 habitantes e o Ministério da Saúde recomenda que um Agente Comunitário de Saúde (ACS) atenda, no máximo, a 750 pessoas.

Qual a quantidade mínima de ACS necessária para atender a toda a população do Brasil?

• A) 224.368.
• B) 234.368.
• C) 244.368.
• D) 254.368.

O gabarito correto é D).

Para resolver o problema, precisamos determinar quantas senhas de seis dígitos, formadas pelos números 1, 2, 5, 5, 7 e 8, são maiores que 500.000. Como a senha deve ser maior que 500.000, o primeiro dígito deve ser 5, 7 ou 8. Vamos analisar cada caso separadamente, considerando a repetição do número 5.

1. Primeiro dígito igual a 5:
Fixando o 5 na primeira posição, restam os dígitos 1, 2, 5, 7 e 8 para as cinco posições seguintes. No entanto, como há dois dígitos "5" no total, um já foi usado na primeira posição, restando apenas um "5" para as demais. Portanto, temos 5 dígitos distintos (1, 2, 5, 7, 8) para permutar nas cinco posições restantes. O número de possibilidades é dado por:
( P_5 = 5! = 120 )

2. Primeiro dígito igual a 7 ou 8:
Se o primeiro dígito for 7 ou 8, os cinco dígitos restantes serão 1, 2, 5, 5 e o dígito não utilizado no início (7 ou 8). Aqui, temos dois "5" repetidos, então o número de permutações possíveis é calculado pela fórmula de permutação com repetição:
( frac{5!}{2!} = frac{120}{2} = 60 )
Como há duas opções para o primeiro dígito (7 ou 8), multiplicamos por 2:
( 2 times 60 = 120 )

Total de senhas válidas:
Somando os dois casos, temos:
( 120 ) (para primeiro dígito 5) ( + 120 ) (para primeiro dígito 7 ou 8) ( = 240 ).

Portanto, a resposta correta é a alternativa D) 240.

O problema apresentado envolve o cálculo do número máximo de tentativas que Ana pode realizar para abrir sua mala, considerando as condições específicas da senha esquecida. A senha é composta por quatro algarismos, sendo o primeiro fixo como "1", sem repetição de dígitos e com o algarismo "4" presente em alguma das posições restantes. Para resolver essa questão, é necessário aplicar princípios combinatórios de forma sistemática.

Inicialmente, sabemos que a senha tem a estrutura 1 _ _ _, onde os três últimos dígitos devem ser preenchidos sem repetição e com o "4" ocupando uma das três posições disponíveis. O primeiro passo é determinar em quantas posições o "4" pode aparecer: ele pode estar na segunda, terceira ou quarta posição. Cada uma dessas situações gera um cenário distinto para os demais algarismos.

Caso 1: Se o "4" estiver na segunda posição (1 4 _ _), os dois últimos dígitos devem ser escolhidos entre os 8 algarismos restantes (0,2,3,5,6,7,8,9), pois não podem repetir e já foram usados o "1" e o "4". O número de possibilidades para esse caso é calculado por arranjo: 8 opções para o terceiro dígito e 7 para o quarto, totalizando 8 × 7 = 56 combinações.

Caso 2: Se o "4" ocupar a terceira posição (1 _ 4 _), o segundo dígito pode ser qualquer um dos 8 algarismos não utilizados (excluindo "1" e "4"), e o quarto dígito terá 7 opções restantes. Novamente, isso resulta em 8 × 7 = 56 possibilidades.

Caso 3: Por fim, se o "4" estiver na quarta posição (1 _ _ 4), a lógica se repete: 8 opções para o segundo dígito e 7 para o terceiro, gerando mais 56 combinações.

Somando as possibilidades dos três casos (56 + 56 + 56), obtemos um total de 168 tentativas diferentes. Portanto, a alternativa correta é a D) 168, conforme indicado no gabarito. Esse resultado demonstra a importância de considerar todas as variações possíveis dentro das restrições dadas, aplicando métodos combinatórios para garantir a contagem precisa das opções válidas.

Um estudante ganhou um carro novo de seus pais ao passar no vestibular. Como o pai já havia escolhido o modelo, o estudante precisava decidir entre duas opções de portas (duas ou quatro) e os equipamentos adicionais disponíveis: ar condicionado, direção hidráulica, câmbio automático, freio ABS e airbag. Além disso, a concessionária ofereceu um brinde à vista: rodas de liga leve ou equipamento de som.

Para resolver o problema, é necessário calcular todas as combinações possíveis:

1. Carro de duas portas: O estudante podia escolher 3 equipamentos adicionais entre 5. O número de combinações é dado por C(5,3) = 10.
2. Carro de quatro portas: O estudante podia escolher apenas 2 equipamentos adicionais entre 5. O número de combinações é C(5,2) = 10.
3. Brinde: Independentemente da escolha do carro, havia 2 opções de brinde (rodas de liga leve ou equipamento de som).

Assim, o total de possibilidades é calculado da seguinte forma:

• Para o carro de duas portas: 10 combinações de equipamentos × 2 brindes = 20 possibilidades.
• Para o carro de quatro portas: 10 combinações de equipamentos × 2 brindes = 20 possibilidades.

Somando as duas opções de carro, temos 20 + 20 = 40 possibilidades no total.

Portanto, a alternativa correta é D) 40.

O problema apresentado envolve a distribuição de 10 pessoas em três carros com capacidades distintas: um carro com 5 lugares, outro com 3 e um terceiro com 2. Para determinar o número de maneiras diferentes de realizar essa distribuição, é necessário utilizar conceitos de combinação e permutação.

Primeiramente, selecionamos 5 pessoas entre as 10 para ocuparem o carro maior. O número de combinações possíveis para essa escolha é dado por C(10,5), que equivale a 252. Em seguida, das 5 pessoas restantes, escolhemos 3 para ocuparem o carro de capacidade média, representado por C(5,3), resultando em 10 possibilidades. As 2 pessoas que sobrarem irão automaticamente para o carro menor, sem necessidade de cálculos adicionais, pois só há uma maneira de alocá-las.

Multiplicando os valores obtidos nas etapas anteriores (252 x 10 x 1), chegamos ao total de 2.520 maneiras diferentes de distribuir as 10 pessoas nos três carros. Portanto, a alternativa correta é a letra C) 2.520.

É importante destacar que esse tipo de problema exige atenção à ordem de seleção dos grupos e à capacidade específica de cada veículo, garantindo que todas as possibilidades sejam consideradas sem repetições ou omissões.

No Campeonato Tocantinense de Futebol Profissional da 1ª Divisão / Edição 2011, o regulamento estabelece três fases distintas para a disputa do torneio. Vamos analisar cada afirmação com base nas informações fornecidas:

Afirmação I: "O número total de jogos da 1ª fase do Campeonato é de 28 jogos."

Na primeira fase, as 8 equipes jogam entre si em turno único, formando um grupo único. O cálculo de jogos em um turno único é dado pela combinação de 8 times tomados 2 a 2 (C(8,2)), que resulta em 28 jogos. Portanto, a afirmação I é verdadeira.

Afirmação II: "O número total de jogos da 2ª fase do Campeonato é de 12 jogos."

Na segunda fase, as 4 equipes classificadas jogam entre si em jogos de ida e volta. Isso significa que cada time enfrenta os outros três duas vezes, totalizando 6 rodadas (C(4,2) × 2 = 12 jogos). Assim, a afirmação II também é verdadeira.

Afirmação III: "O número total de jogos do Campeonato é de 54 jogos."

Para verificar essa afirmação, somamos os jogos das três fases: 28 (1ª fase) + 12 (2ª fase) + 2 (final, ida e volta) = 42 jogos. Como o valor mencionado na afirmação III (54) não corresponde ao cálculo correto, essa afirmação é falsa.

Conclusão: Apenas a afirmação III é falsa, tornando a alternativa E a correta.

Para resolver o problema apresentado, é necessário determinar a maior quantidade possível de frutas em cada lote, de modo que todas as frutas sejam organizadas sem misturar os tipos e sem sobrar nenhuma. Isso envolve encontrar o maior divisor comum (MDC) entre as quantidades de laranjas, maçãs e mangas.

As quantidades fornecidas são:

• 84 laranjas
• 72 maçãs
• 48 mangas

O primeiro passo é calcular o MDC entre esses números. O MDC representa o maior número que divide todos eles sem deixar resto. Podemos utilizar o método da decomposição em fatores primos ou o algoritmo de Euclides. Vamos optar pelo segundo método, que é eficiente para números maiores.

Começamos calculando o MDC entre 84 e 72:

• 84 ÷ 72 = 1 com resto 12
• 72 ÷ 12 = 6 com resto 0

Portanto, o MDC entre 84 e 72 é 12.

Agora, calculamos o MDC entre o resultado obtido (12) e a quantidade restante de mangas (48):

• 48 ÷ 12 = 4 com resto 0

Como não há resto, o MDC entre 12 e 48 é 12.

Assim, a maior quantidade possível de frutas em cada lote, sem misturar os tipos e sem sobras, é 12. Isso significa que o feirante pode organizar as frutas em lotes de 12, resultando em:

• 84 ÷ 12 = 7 lotes de laranjas
• 72 ÷ 12 = 6 lotes de maçãs
• 48 ÷ 12 = 4 lotes de mangas

Dessa forma, a alternativa correta é A) 12, conforme indicado no gabarito.

O problema apresentado envolve a organização de sete filmes diferentes em uma semana, com a restrição de que duas comédias não podem ser exibidas em dias consecutivos. Para resolver essa questão, é necessário calcular a quantidade máxima de maneiras distintas de apresentar os filmes, respeitando essa condição.

Primeiramente, vamos considerar a disposição dos filmes sem a restrição das comédias. Como há sete filmes e sete dias, o número total de possibilidades seria a permutação dos sete filmes, ou seja, 7! (fatorial de 7), que resulta em 5040 maneiras. No entanto, essa é a alternativa B, que não considera a restrição imposta.

Agora, precisamos ajustar esse cálculo para garantir que as duas comédias não sejam exibidas em dias consecutivos. Para isso, podemos utilizar o princípio da contagem e subtrair as situações indesejadas.

O método mais eficiente é calcular o número total de disposições possíveis e, em seguida, subtrair as disposições em que as comédias aparecem consecutivamente. Vamos seguir os seguintes passos:

1. Calcular o número total de maneiras de organizar os sete filmes: 7! = 5040.
2. Identificar as posições em que as comédias aparecem consecutivamente. Podemos tratar as duas comédias como um único bloco, resultando em 6 "itens" para organizar (o bloco das comédias e os outros 5 filmes). Dentro desse bloco, as comédias podem trocar de ordem (2! maneiras). Portanto, o número de disposições com comédias consecutivas é 6! × 2! = 720 × 2 = 1440.
3. Subtrair as disposições indesejadas do total: 5040 - 1440 = 3600.

Portanto, a quantidade máxima de maneiras distintas de apresentar os filmes, respeitando a condição de que as comédias não sejam exibidas em dias consecutivos, é 3600. Essa resposta corresponde à alternativa E) do gabarito.