Questões Sobre Análise Combinatória - Matemática - concurso

Para resolver o problema apresentado, é necessário calcular o número de programas distintos em que as músicas são tocadas agrupadas por estilo. O enunciado fornece as seguintes informações:

• Total de músicas: 10
• MPB: 4 músicas
• Rock: 3 músicas
• Pop: 3 músicas

O objetivo é determinar quantas maneiras diferentes existem de organizar essas músicas no programa, considerando que elas devem ser agrupadas por estilo. Além disso, dentro de cada grupo, a ordem das músicas pode variar.

Primeiramente, devemos pensar na organização dos grupos. Como há três estilos (MPB, Rock e Pop), existem 3! (fatorial de 3) maneiras de ordenar esses grupos no programa. Isso porque os grupos podem aparecer em qualquer ordem, como MPB-Rock-Pop, MPB-Pop-Rock, Rock-MPB-Pop, etc.

Em seguida, dentro de cada grupo, as músicas podem ser ordenadas de maneira diferente. Para o grupo de MPB, com 4 músicas distintas, há 4! permutações possíveis. Para os grupos de Rock e Pop, cada um com 3 músicas, há 3! permutações para cada um.

Portanto, o número total de programas distintos é dado pela multiplicação do número de maneiras de ordenar os grupos (3!) pelo número de permutações dentro de cada grupo (4! para MPB, 3! para Rock e 3! para Pop). Isso resulta em:

3! × 4! × 3! × 3!

Analisando as alternativas:

• A) 4! × 3! × 3! × 3! → Correta, pois considera a permutação dos grupos e das músicas dentro deles.
• B) 10! / 7! → Incorreta, pois não leva em conta o agrupamento por estilo.
• C) 4! × 3! × 3! → Incorreta, pois não considera a permutação dos grupos (3!).

Assim, a alternativa correta é a A), conforme indicado no gabarito.

No contexto do jogo descrito, Emanuel, João e Hisao competem lançando dados, onde o objetivo é obter a menor soma em três lançamentos. Para determinar qual sequência representa uma vitória de Emanuel, considerando que João e Hisao tiveram somas de 11 e 15, respectivamente, e que no segundo lançamento o valor do dado de Emanuel foi menor que o de Hisao, analisemos as opções:

A opção B) (4, 1, 4) é a correta porque:

• A soma total de Emanuel é 4 + 1 + 4 = 9, que é menor que as somas de João (11) e Hisao (15).
• No segundo lançamento, o valor do dado de Emanuel foi 1, que é necessariamente menor que o de Hisao (pois a soma de Hisao é 15, indicando que seus lançamentos foram altos).

As outras opções não atendem a todos os critérios:

• A) (1, 5, 3): Soma 9, mas no segundo lançamento (5) não há garantia de que seja menor que o de Hisao.
• C) (5, 2, 5): Soma 12, maior que a soma de João (11), portanto Emanuel não venceria.
• D) (1, 4, 2): Soma 7, mas não há garantia de que no segundo lançamento (4) seja menor que o de Hisao.
• E) (3, 3, 3): Soma 9, mas no segundo lançamento (3) não há confirmação de que seja menor que o de Hisao.

Portanto, a única sequência que atende todas as condições é B) (4, 1, 4).

O problema apresentado envolve a análise combinatória aplicada a um torneio de futebol amador com doze times participantes. A questão aborda duas etapas distintas: a formação do Grupo A e a definição dos times para o jogo de abertura. Para resolver corretamente, é necessário identificar quais ferramentas da análise combinatória — combinação, arranjo ou permutação — são adequadas para cada etapa.

Na primeira etapa, quatro times são sorteados entre os doze para compor o Grupo A. Aqui, a ordem de escolha dos times não é relevante, pois o grupo é o mesmo independentemente da sequência em que os times são selecionados. Portanto, essa situação é resolvida por uma combinação de doze times tomados quatro a quatro, representada por C(12,4).

Na segunda etapa, dois times são sorteados dentro do Grupo A para o jogo de abertura, sendo que a ordem importa: o primeiro time sorteado joga em casa, enquanto o segundo é o visitante. Como a ordem dos times afeta diretamente o resultado (quem joga em casa e quem é visitante), essa situação exige um arranjo dos quatro times tomados dois a dois, ou seja, A(4,2).

Assim, a resposta correta é a alternativa A), que indica o uso de uma combinação para o Grupo A e um arranjo para o jogo de abertura. As outras alternativas estão incorretas porque:

• B) inverte as ferramentas;
• C) menciona permutação, que não se aplica;
• D) sugere duas combinações, ignorando a importância da ordem no jogo de abertura;
• E) propõe dois arranjos, desconsiderando que a ordem não importa na formação do Grupo A.

Quatro pessoas vão participar de um torneio em que os jogos são disputados entre duplas. O número de grupos com duas duplas, que podem ser formados com essas 4 pessoas, é:

• A) 3.
• B) 4.
• C) 6.
• D) 8.
• E) 12.

O gabarito correto é A) 3.

O problema apresentado envolve a contagem do número de maneiras distintas de programar o tratamento dentário de um paciente ao longo de cinco semanas, considerando restrições de dias úteis e feriados. Vamos analisar a situação passo a passo para entender por que a alternativa correta é a D) 2.000.

Primeiramente, temos cinco semanas seguidas, com um atendimento por semana. Cada semana possui cinco dias úteis (de segunda a sexta-feira), totalizando 25 dias úteis no período de cinco semanas. No entanto, há dois feriados em semanas diferentes, o que significa que dois desses dias úteis não estarão disponíveis para agendamento. Portanto, o número de dias úteis disponíveis para marcar as consultas é de 25 - 2 = 23 dias.

O tratamento consiste em cinco consultas, uma em cada semana, sem repetição de dias dentro da mesma semana. Como os feriados estão em semanas diferentes, cada semana terá pelo menos quatro dias úteis disponíveis (já que um feriado remove um dia útil de uma semana específica).

Para calcular o número de maneiras distintas de programar o tratamento, devemos considerar que:

• Na primeira semana, há 5 opções de dias (antes de considerar os feriados).
• Na segunda semana, há 5 opções, mas se um feriado cair nessa semana, restam 4 opções.
• O mesmo raciocínio se aplica às semanas seguintes.

No entanto, como os feriados estão distribuídos em semanas diferentes, temos que:

• Três semanas terão todos os 5 dias úteis disponíveis.
• Duas semanas terão 4 dias úteis disponíveis (devido aos feriados).

Assim, o número total de maneiras distintas de programar o tratamento é dado pelo produto das opções em cada semana: 5 × 5 × 5 × 4 × 4 = 5³ × 4² = 125 × 16 = 2.000.

Portanto, a alternativa correta é D) 2.000, pois esse cálculo considera adequadamente a distribuição dos feriados e as restrições de agendamento em cada semana.

O problema apresentado envolve o cálculo do número de combinações possíveis ao escolher sorvetes com diferentes quantidades de bolas e sabores. Vamos analisar cada caso separadamente para encontrar a resposta correta.

Na sorveteria, há quatro sabores distintos de sorvete, e é possível comprar sorvetes com 1, 2, 3 ou 4 bolas. O objetivo é determinar quantas formas distintas existem de comprar um sorvete, considerando apenas a variação nos sabores, sem levar em conta a ordem das bolas no copo ou casquinha.

Para resolver esse problema, utilizamos o conceito de combinação com repetição, já que é permitido repetir sabores em um mesmo sorvete (por exemplo, duas bolas do mesmo sabor). A fórmula geral para combinações com repetição é dada por:

C(n + k - 1, k), onde:

• n = número de sabores disponíveis (4, no caso).
• k = número de bolas no sorvete (1, 2, 3 ou 4).

Vamos calcular as possibilidades para cada quantidade de bolas:

1. 1 bola: Há 4 possibilidades, pois existem 4 sabores disponíveis.
2. 2 bolas: Usamos a fórmula C(4 + 2 - 1, 2) = C(5, 2) = 10 combinações possíveis.
3. 3 bolas: C(4 + 3 - 1, 3) = C(6, 3) = 20 combinações possíveis.
4. 4 bolas: C(4 + 4 - 1, 4) = C(7, 4) = 35 combinações possíveis.

No entanto, o problema especifica que devemos considerar apenas a distinção nos sabores, e não a quantidade de bolas. Isso significa que estamos interessados nas diferentes combinações de sabores, independentemente do número de bolas. Portanto, devemos considerar todas as possibilidades de escolha de sabores, levando em conta que a ordem não importa.

Uma abordagem mais simples é considerar que, para cada bola, temos 4 opções de sabores. Como a ordem não importa, o número total de combinações distintas é dado pela soma das combinações para cada quantidade de bolas:

• 1 bola: 4 combinações.
• 2 bolas: 6 combinações (considerando que sabores iguais são permitidos).
• 3 bolas: 4 combinações.
• 4 bolas: 1 combinação (todas as bolas do mesmo sabor).

Somando todas as possibilidades, temos: 4 (1 bola) + 6 (2 bolas) + 4 (3 bolas) + 1 (4 bolas) = 15 formas distintas de comprar o sorvete.

Portanto, a alternativa correta é E) 15.

O problema apresentado envolve o cálculo do número de maneiras distintas de dispor as letras B, R, A, S, I, L nas faces de um cubo, com uma letra em cada face. Para resolver essa questão, é necessário considerar as propriedades geométricas do cubo e como elas afetam as permutações das letras.

Um cubo possui 6 faces, e inicialmente, pode-se pensar que o número de maneiras de organizar 6 letras distintas seria 6! (6 fatorial), que equivale a 720. No entanto, o cubo pode ser girado no espaço, e muitas dessas disposições são equivalentes por rotação. Portanto, é preciso ajustar o cálculo para considerar essas simetrias.

O número de rotações distintas de um cubo que o mapeiam nele mesmo é 24. Essas rotações incluem:

• Rotações em torno dos eixos que passam pelos centros de faces opostas (6 possibilidades para cada eixo, totalizando 6 × 3 = 18).
• Rotações em torno dos eixos que passam por vértices opostos (8 possibilidades).
• Rotações em torno dos eixos que passam pelos pontos médios de arestas opostas (6 possibilidades).

Assim, o número total de permutações distintas, considerando as rotações, é dado por 6! / 24 = 720 / 24 = 30. Portanto, a resposta correta é a alternativa C) 30.

Esse tipo de problema ilustra a importância de considerar simetrias em problemas de contagem envolvendo objetos geométricos, garantindo que apenas as configurações verdadeiramente distintas sejam contabilizadas.

Para resolver o problema de encontrar a 80ª permutação do número 31452 em ordem crescente, é necessário seguir um método sistemático que envolve análise combinatória e ordenação de permutações.

O número 31452 possui 5 algarismos distintos, o que significa que o total de permutações possíveis é 5! (fatorial de 5), ou seja, 120 permutações. Para encontrar a 80ª posição, podemos utilizar a abordagem de decomposição baseada no fatorial.

Primeiro, organizamos os algarismos em ordem crescente: 1, 2, 3, 4, 5. Em seguida, determinamos quantas permutações começam com cada algarismo. Como há 4! = 24 permutações para cada algarismo inicial, podemos calcular:

• Permutações começando com 1: posições 1 a 24
• Permutações começando com 2: posições 25 a 48
• Permutações começando com 3: posições 49 a 72
• Permutações começando com 4: posições 73 a 96

Como a 80ª posição está no intervalo das permutações que começam com 4 (73 a 96), sabemos que o primeiro algarismo é 4. Agora, restam os algarismos 1, 2, 3, 5 para permutar. Precisamos encontrar a (80 - 72) = 8ª permutação desse subconjunto.

Repetimos o processo para os algarismos restantes, considerando 3! = 6 permutações para cada próximo algarismo:

• Permutações começando com 41: posições 73 a 78
• Permutações começando com 42: posições 79 a 84

A 80ª posição está no intervalo das permutações que começam com 42 (79 a 84). Agora, restam os algarismos 1, 3, 5. Precisamos encontrar a (80 - 78) = 2ª permutação desse subconjunto.

Ordenando os algarismos restantes em ordem crescente: 1, 3, 5. A segunda permutação é 1, 5, 3. Portanto, o número correspondente à 80ª posição é 42153.

Assim, a alternativa correta é E) 42153.

O problema apresentado descreve uma situação em que um banco precisa formar uma equipe de escriturários para abrir contas-correntes de 1.920 empregados de uma empresa. Cada escriturário leva 5 minutos para abrir uma conta, todos trabalham no mesmo ritmo, e o trabalho deve ser concluído em 2 dias, com 8 horas de trabalho por dia.

Para resolver o problema, primeiro calculamos o tempo total disponível para a tarefa. Como são 2 dias com 8 horas cada, temos 16 horas, ou 960 minutos (16 × 60). Cada escriturário leva 5 minutos por conta, então, em 960 minutos, um escriturário pode abrir 192 contas (960 ÷ 5). Como há 1.920 empregados, o número necessário de escriturários é 10 (1.920 ÷ 192).

O item afirma que, com essa equipe de 10 escriturários, podem ser formados 45 grupos distintos de 2 escriturários cada. Para verificar isso, usamos a combinação de 10 elementos tomados 2 a 2, que é calculada por C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45. Portanto, o item está correto.

Assim, a resposta correta é:

• C) CERTO

Em uma indústria com 4.000 funcionários, temos os seguintes dados:

• 2.100 funcionários têm mais de 20 anos.
• 1.200 funcionários são especializados.
• 800 funcionários têm mais de 20 anos e são especializados.

Para encontrar a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ter no máximo 20 anos e ser especializado, seguimos os passos abaixo:

1. Calculamos o número de funcionários com no máximo 20 anos:
   Total de funcionários - Funcionários com mais de 20 anos = 4.000 - 2.100 = 1.900.
2. Dos 1.200 funcionários especializados, 800 têm mais de 20 anos. Portanto, o número de especializados com no máximo 20 anos é:
   Total de especializados - Especializados com mais de 20 anos = 1.200 - 800 = 400.
3. A probabilidade é dada pela razão entre o número de casos favoráveis (400) e o total de funcionários (4.000):
   Probabilidade = 400 / 4.000 = 0,1.

Portanto, a alternativa correta é A) 0,1.