Questões Sobre Análise Combinatória - Matemática - concurso

Para resolver o problema, devemos determinar quantos números inteiros de cinco algarismos distintos, maiores que 64.000, podem ser formados com os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9}.

Primeiramente, analisamos as condições necessárias:

1. O número deve ter cinco algarismos distintos.
2. O número deve ser maior que 64.000.

Para que o número seja maior que 64.000, o primeiro algarismo (da esquerda para a direita) deve ser 6, 7 ou 9, pois:

• Se o primeiro algarismo for 6, o segundo deve ser 4, 5, 7 ou 9, para que o número seja maior que 64.000.
• Se o primeiro algarismo for 7 ou 9, não há restrição para os algarismos seguintes, pois números como 70.000 ou 90.000 já são maiores que 64.000.

Vamos dividir o problema em casos:

Caso 1: O primeiro algarismo é 6

O segundo algarismo deve ser 4, 5, 7 ou 9 (para garantir que o número seja maior que 64.000). Os três algarismos restantes podem ser quaisquer dos elementos restantes do conjunto, desde que distintos.

• Primeiro algarismo: 1 possibilidade (6).
• Segundo algarismo: 4 possibilidades (4, 5, 7, 9).
• Terceiro, quarto e quinto algarismos: escolhidos entre os 6 elementos restantes (excluindo os dois já usados).

Total para este caso: 1 × 4 × 6 × 5 × 4 = 480 números.

Caso 2: O primeiro algarismo é 7 ou 9

Não há restrição para os algarismos seguintes, desde que sejam distintos.

• Primeiro algarismo: 2 possibilidades (7 ou 9).
• Segundo algarismo: 7 possibilidades (qualquer elemento do conjunto, exceto o primeiro algarismo).
• Terceiro, quarto e quinto algarismos: escolhidos entre os elementos restantes.

Total para este caso: 2 × 7 × 6 × 5 × 4 = 1.680 números.

Somando os dois casos, temos: 480 + 1.680 = 2.160 números possíveis.

Portanto, a alternativa correta é E) 2.160.

O problema apresentado envolve uma situação de combinação em que o gerente de uma loja precisa escolher duas funcionárias para trabalharem no próximo feriado, considerando que Diana e Sandra não podem ser selecionadas, pois já trabalharam no último feriado.

Inicialmente, temos um total de 8 funcionárias na loja. No entanto, como Diana e Sandra não podem ser escolhidas, o número de funcionárias disponíveis para a seleção reduz-se para 6 (8 - 2 = 6).

O objetivo é determinar de quantas maneiras distintas o gerente pode escolher 2 funcionárias dentre essas 6 disponíveis. Como a ordem de escolha não é relevante nesse contexto (ou seja, escolher Maria e João é o mesmo que escolher João e Maria), trata-se de uma combinação simples.

A fórmula para calcular combinações é dada por:

C(n, k) = n! / [k! * (n - k)!]

Onde:

• n = número total de elementos
• k = número de elementos a serem escolhidos
• ! = fatorial

Aplicando os valores do problema:

C(6, 2) = 6! / [2! * (6 - 2)!] = (6 × 5 × 4!) / (2 × 1 × 4!) = (30) / (2) = 15

Portanto, existem 15 maneiras distintas de o gerente escolher duas funcionárias entre as 6 disponíveis. A alternativa correta é a A) 15.

Para resolver o problema, é necessário calcular o número total de misturas possíveis com duas substâncias entre as oito disponíveis, levando em consideração a restrição de que três delas não podem ser combinadas entre si.

Primeiramente, calculamos o número total de combinações possíveis sem restrições. Como a ordem das substâncias na mistura não importa, utilizamos a fórmula de combinação:

C(8, 2) = 8! / (2! * (8-2)!) = 28 misturas possíveis.

Em seguida, identificamos quantas dessas combinações são proibidas. São três substâncias que não podem ser misturadas duas a duas, então o número de combinações inválidas é:

C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 misturas proibidas.

Subtraindo as combinações inválidas do total, obtemos o número de misturas seguras:

28 (total) - 3 (proibidas) = 25 misturas distintas possíveis.

Portanto, a alternativa correta é B) 25.

O problema apresentado questiona de quantas maneiras diferentes uma pessoa pode organizar uma sequência de seis partidas, sendo três vitórias (V) e três derrotas (D). Trata-se de um problema de permutação com elementos repetidos, um conceito fundamental na análise combinatória.

Para resolver, podemos imaginar que temos seis posições a serem preenchidas com três V's e três D's. O número de ordens distintas é dado pelo coeficiente binomial, que calcula quantas maneiras podemos escolher três posições (para as vitórias) entre seis disponíveis. A fórmula é:

Número de ordens = 6! / (3! × 3!) = (6×5×4)/(3×2×1) = 20

Portanto, existem 20 sequências possíveis para organizar três vitórias e três derrotas em seis partidas. Isso explica por que a alternativa correta é a B) 20.

As outras alternativas não correspondem ao cálculo correto. A alternativa A) subestima o resultado, enquanto C), D) e E) apresentam valores superiores ao correto, possivelmente devido a erros na aplicação do princípio combinatório ou na contagem de permutações.

O problema apresentado envolve o cálculo do número máximo de formas de exportar 8 automóveis de um estoque composto por veículos de 6 marcas diferentes. Para resolver essa questão, é necessário recorrer aos princípios da combinatória, mais especificamente à técnica conhecida como "combinação com repetição".

A situação descrita pode ser modelada como um problema de distribuição de itens indistinguíveis (os 8 automóveis a serem exportados) em categorias distintas (as 6 marcas diferentes). Nesse contexto, a fórmula aplicável é a combinação com repetição, dada por C(n + k - 1, k), onde:

• n representa o número de categorias (6 marcas)
• k representa o número de itens a serem distribuídos (8 automóveis)

Aplicando os valores à fórmula, temos:

C(6 + 8 - 1, 8) = C(13, 8)

O cálculo do coeficiente binomial C(13, 8) pode ser realizado através da fórmula:

C(13, 8) = 13! / (8! × 5!) = 1287

Portanto, o número máximo de formas distintas de exportar 8 automóveis considerando as 6 marcas disponíveis é 1287, o que corresponde à alternativa C) no enunciado.

Vale ressaltar que essa solução assume que não há restrições adicionais, como limites no número de veículos por marca no estoque. O problema considera o caso geral onde qualquer marca pode contribuir com qualquer quantidade de automóveis para a exportação (incluindo a possibilidade de não contribuir com nenhum).

Três mulheres e quatro homens vão sentar-se em torno de uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes isso pode ser feito, se pessoas do mesmo sexo devem permanecer juntas?

Para resolver esse problema, devemos considerar que os grupos de homens e mulheres devem ficar juntos. Como a mesa é redonda, utilizamos permutação circular.

Primeiro, tratamos cada grupo como um único bloco:

• Mulheres (3) como um bloco.
• Homens (4) como outro bloco.

Em uma mesa redonda, o número de maneiras de dispor n blocos é (n-1)!. Aqui, temos 2 blocos (homens e mulheres), então:

(2-1)! = 1! = 1 maneira de organizar os blocos.

Dentro de cada bloco, as pessoas podem ser permutadas entre si:

• Mulheres: 3! = 6 maneiras.
• Homens: 4! = 24 maneiras.

Multiplicando tudo, temos:

1 (permutação circular dos blocos) × 6 (mulheres) × 24 (homens) = 144 disposições possíveis.

Portanto, a alternativa correta é:

• E) 144

O problema apresentado envolve a alocação de três sondas disponíveis para perfurar três poços de petróleo, dentre cinco possíveis, com restrições específicas. Para determinar o número de maneiras distintas de realizar essa alocação, é necessário considerar as limitações de cada sonda e as combinações viáveis.

A sonda S₁ só pode ser usada nos poços P₄ e P₅, enquanto as sondas S₂ e S₃ podem ser alocadas em qualquer um dos cinco poços. Como apenas três poços serão perfurados, cada sonda deve ser atribuída a um poço diferente.

Para resolver o problema, podemos dividir a análise em dois casos:

1. Caso 1: A sonda S₁ é utilizada.

   Se S₁ for alocada, ela só pode ser usada em P₄ ou P₅ (2 opções). As outras duas sondas, S₂ e S₃, devem ser alocadas aos dois poços restantes, escolhidos entre os três não ocupados por S₁ (P₁, P₂, P₃ e o poço não selecionado entre P₄ e P₅).

   Para S₂ e S₃, há 4 poços disponíveis inicialmente, mas um já foi ocupado por S₁, restando 4 - 1 = 3 poços. Como são duas sondas, as possibilidades são arranjos de 3 poços tomados 2 a 2, ou seja, 3 × 2 = 6 maneiras.

   Portanto, para este caso, o total é 2 (opções de S₁) × 6 (alocações de S₂ e S₃) = 12 maneiras.

2. Caso 2: A sonda S₁ não é utilizada.

   Neste cenário, apenas S₂ e S₃ são alocadas, mas como três poços devem ser perfurados, há uma inconsistência, pois faltaria uma sonda. Logo, esse caso não é viável e contribui com 0 maneiras.

No entanto, a análise anterior apresenta um erro: o problema exige que todas as três sondas sejam alocadas, cada uma a um poço diferente, perfurando exatamente três poços. Assim, o Caso 1 está correto, mas o Caso 2 deve ser reavaliado:

Caso 2 revisado: S₁ não é usada.

Se S₁ não for alocada, as três sondas disponíveis são S₂, S₃ e uma terceira (o que não existe, pois só há S₁, S₂ e S₃). Portanto, esse caso é inviável, e a contagem se restringe ao Caso 1.

Contudo, a resposta correta é 24 (alternativa D), o que sugere que a interpretação inicial do problema pode ter sido incompleta. Uma abordagem alternativa é:

1. Se S₁ for usada (em P₄ ou P₅), as outras duas sondas (S₂ e S₃) podem ser alocadas nos 4 poços

O problema apresentado envolve a alocação de três sondas disponíveis para perfurar três poços de petróleo, dentre cinco possíveis (P₁, P₂, P₃, P₄, P₅), com restrições específicas para uma das sondas. A sonda S₁ só pode ser usada nos poços P₄ e P₅, enquanto as sondas S₂ e S₃ podem perfurar qualquer um dos cinco poços. O objetivo é determinar quantas maneiras distintas existem para alocar as três sondas, considerando que cada uma será designada a um único poço.

Para resolver esse problema, podemos dividi-lo em dois casos principais, baseados na utilização ou não da sonda S₁:

1. Caso 1: S₁ é utilizada

   Se S₁ for alocada, ela só pode ser designada a P₄ ou P₅, ou seja, há 2 opções. As outras duas sondas, S₂ e S₃, devem ser alocadas aos poços restantes (excluindo o poço já escolhido para S₁). Como há 4 poços restantes (pois um já foi ocupado por S₁), e as sondas S₂ e S₃ são distintas, temos 4 opções para S₂ e 3 opções para S₃, totalizando 4 × 3 = 12 arranjos para esse cenário. Multiplicando pelas 2 opções de S₁, temos 2 × 12 = 24 maneiras.

2. Caso 2: S₁ não é utilizada

   Nesse caso, apenas S₂ e S₃ são alocadas, sem restrições. Para três poços a serem perfurados, teríamos que escolher 2 poços para S₂ e S₃ (com 5 poços disponíveis inicialmente), mas como S₁ não está sendo usada, esse caso não se aplica à situação descrita, pois o problema exige que as três sondas sejam alocadas. Portanto, esse caso não contribui para a contagem final.

Assim, a única configuração válida é a do Caso 1, resultando em 24 maneiras distintas de alocar as três sondas. Portanto, a alternativa correta é D) 24.

Para determinar de quantos modos diferentes o time de futebol pode ser montado, devemos calcular as combinações possíveis para cada posição e depois multiplicá-las, já que as escolhas são independentes entre si.

O problema pode ser resolvido da seguinte forma:

1. Goleiros: Há 3 opções e apenas 1 vaga, então temos C(3,1) = 3 possibilidades.
2. Atacantes: Há 5 opções e 3 vagas, então C(5,3) = 10 possibilidades.
3. Meio-campistas: Há 6 opções e 5 vagas, então C(6,5) = 6 possibilidades.
4. Zagueiros: Há 4 opções e 2 vagas, então C(4,2) = 6 possibilidades.

Para encontrar o número total de times possíveis, multiplicamos as combinações de cada posição:

Total = C(3,1) × C(5,3) × C(6,5) × C(4,2) = 3 × 10 × 6 × 6 = 1080.

Portanto, a alternativa correta é E) 1080.

O problema apresentado envolve a combinação de bolas retiradas de duas urnas distintas, Urna A e Urna B, com o objetivo de calcular o número de maneiras possíveis em que a soma dos três números retirados não ultrapasse 28. Para resolver essa questão, é necessário analisar as possibilidades de combinação entre as bolas das duas urnas.

Primeiramente, consideramos a Urna A, que contém 12 bolas numeradas de 1 a 12. Duas bolas são retiradas simultaneamente, o que corresponde a uma combinação de 12 elementos tomados 2 a 2. O número total de combinações possíveis é dado por C(12,2) = 66. Cada par de bolas retiradas da Urna A terá uma soma específica, que pode variar de 3 (1+2) até 23 (11+12).

Em seguida, uma bola é retirada da Urna B, que contém 8 bolas numeradas de 0 a 7. Para cada par retirado da Urna A, a bola retirada da Urna B deve ser escolhida de forma que a soma total dos três números não ultrapasse 28. Como a maior soma possível das duas bolas da Urna A é 23, a bola da Urna B pode ter qualquer valor de 0 a 5 (pois 23 + 5 = 28). No entanto, para pares com soma menor, a bola da Urna B pode assumir valores maiores, desde que a soma total não exceda 28.

Para calcular o número total de combinações válidas, é preciso analisar quantos pares da Urna A permitem que a bola retirada da Urna B não ultrapasse o limite da soma. Por exemplo, se a soma das duas bolas da Urna A for 23, a bola da Urna B só pode ser 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 (6 opções). Se a soma for 22, a bola da Urna B pode ser de 0 a 6 (7 opções), e assim por diante. O número de combinações válidas é obtido multiplicando o número de pares da Urna A com uma determinada soma pelo número de bolas da Urna B que atendem à condição da soma total.

Após realizar os cálculos, considerando todas as possíveis somas das bolas da Urna A e as respectivas restrições para a bola da Urna B, chegamos ao resultado de 525 combinações válidas. Portanto, a alternativa correta é a letra B) 525.