Questões Sobre Análise Combinatória - Matemática - concurso

O problema apresentado envolve o cálculo da probabilidade de que as duas letras R da palavra PETROBRAS fiquem juntas quando suas nove letras são dispostas aleatoriamente em fila. Para resolver essa questão, é necessário utilizar conceitos de permutação e probabilidade.

Primeiramente, consideramos o total de anagramas possíveis da palavra PETROBRAS, que possui nove letras, sendo duas delas repetidas (R). O número total de permutações é dado por 9! (fatorial de nove), que representa todas as maneiras de organizar as nove letras. No entanto, como há duas letras R idênticas, devemos dividir por 2! para evitar contagens duplicadas. Assim, o número total de anagramas distintos é:

Total de anagramas = 9! / 2!

Agora, para calcular o número de anagramas em que as duas letras R aparecem juntas, tratamos o par "RR" como um único elemento. Dessa forma, temos um total de 8 elementos para permutar (o bloco "RR" mais as outras sete letras: P, E, T, O, B, A, S). Como não há repetições entre esses elementos, o número de permutações é simplesmente 8!.

Número de anagramas com R juntos = 8!

A probabilidade P de que as duas letras R fiquem juntas é a razão entre o número de casos favoráveis (anagramas com R juntos) e o número total de casos possíveis (todos os anagramas distintos):

P = (8!) / (9! / 2!) = (8! × 2!) / 9! = 2 / 9

Portanto, a probabilidade é 2/9, o que corresponde à alternativa B).

Esse resultado mostra que, ao considerar a permutação com elementos repetidos e a combinação de letras idênticas, chegamos à resposta correta de forma clara e objetiva.

O problema apresentado envolve a combinação de um grupo de seis operadores, dos quais quatro serão escolhidos para formar uma equipe. A questão pede para calcularmos de quantos modos distintos essa escolha pode ser feita.

Para resolver esse tipo de problema, utilizamos o conceito de combinação, já que a ordem em que os operadores são selecionados não importa. A fórmula para combinação é dada por:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Onde:

• n = número total de elementos (no caso, 6 operadores)
• k = número de elementos a serem escolhidos (no caso, 4 operadores)
• ! representa o fatorial do número

Aplicando os valores na fórmula:

C(6, 4) = 6! / (4! * (6 - 4)!) = 6! / (4! * 2!)

Calculando os fatoriais:

• 6! = 720
• 4! = 24
• 2! = 2

Substituindo na equação:

C(6, 4) = 720 / (24 * 2) = 720 / 48 = 15

Portanto, existem 15 maneiras distintas de escolher 4 operadores entre os 6 disponíveis. A alternativa correta é a letra A) 15.

É importante notar que esse resultado poderia ser obtido mais rapidamente observando que C(6, 4) é igual a C(6, 2), pois combinações complementares têm o mesmo valor (escolher 4 para ficar é o mesmo que escolher 2 para sair). Calculando C(6, 2) = (6 × 5)/2 = 15, chegamos ao mesmo resultado de forma mais simples.

O problema apresentado envolve um cenário de análise combinatória, no qual seis pessoas – um diretor, um gerente e quatro funcionários – devem se sentar em torno de uma mesa circular com seis lugares, respeitando a condição de que o diretor e o gerente não fiquem lado a lado. Para resolver essa questão, é necessário calcular o número total de possibilidades de arranjo e, em seguida, subtrair as configurações em que as duas figuras de autoridade estão juntas.

Em arranjos circulares, a permutação de n elementos é dada por (n-1)!, pois a rotação dos participantes não gera novas disposições consideradas distintas. No caso, temos 6 pessoas, o que resulta em (6-1)! = 120 maneiras de organizá-las sem restrições. No entanto, a condição imposta exige que o diretor e o gerente não ocupem assentos adjacentes. Para calcular essa restrição, primeiro determinamos quantas dessas 120 configurações possuem os dois sentados juntos.

Tratar o diretor e o gerente como um único "bloco" reduz o problema a 5 elementos (o bloco mais os quatro funcionários). Em um arranjo circular, isso resulta em (5-1)! = 24 possibilidades. Dentro desse bloco, diretor e gerente podem trocar de lugar entre si, gerando mais 2 configurações (diretor-gerente ou gerente-diretor). Assim, o total de arranjos em que eles estão juntos é 24 × 2 = 48.

Subtraindo as situações indesejadas do total, temos: 120 - 48 = 72. Portanto, o número de maneiras válidas para dispor as seis pessoas na mesa, atendendo à condição estabelecida, é 72, o que corresponde à alternativa C).

Essa solução ilustra a aplicação de princípios combinatórios, como permutações circulares e restrições de adjacência, reforçando a importância de decompor problemas complexos em etapas mais simples para sua resolução eficiente.

Em quantas posições diferentes oito pessoas podem se sentar em volta de uma mesa de formato circular?

• A) 500
• B) 1000
• C) 3060
• D) 4080
• E) 5040

O gabarito correto é E) 5040.

Num determinado setor de um hospital, trabalham 4 médicos e 8 enfermeiras. O problema consiste em determinar o número de equipes distintas que podem ser formadas, cada uma contendo 1 médico e 3 enfermeiras.

Para resolver essa questão, utilizamos conceitos básicos de combinação, já que a ordem dos elementos dentro de cada equipe não é relevante.

Passo 1: Escolher 1 médico entre os 4 disponíveis.

Como há 4 médicos e cada equipe precisa de apenas 1, o número de maneiras de escolher o médico é dado por C(4,1) = 4.

Passo 2: Escolher 3 enfermeiras entre as 8 disponíveis.

O número de combinações possíveis para selecionar 3 enfermeiras de um total de 8 é calculado por C(8,3) = 56.

Passo 3: Multiplicar os resultados dos dois passos anteriores.

Como as escolhas do médico e das enfermeiras são independentes, o número total de equipes distintas é dado pelo produto das combinações: 4 (médicos) × 56 (enfermeiras) = 224.

Portanto, o número de equipes distintas possíveis é 224, correspondendo à alternativa B).

O problema apresentado envolve o cálculo do número total de senhas possíveis com base em certas condições. Para resolver, é necessário analisar separadamente as partes que compõem a senha e, em seguida, multiplicar as possibilidades de cada parte.

A senha possui 5 caracteres, sendo os três primeiros algarismos distintos de 1 a 9 e os dois últimos letras do alfabeto (podendo ser repetidas ou não). Vamos calcular as possibilidades para cada parte:

1. Algarismos distintos (1º ao 3º caractere): Como são três dígitos distintos escolhidos entre 1 e 9, temos:
   • 1º dígito: 9 opções (1 a 9).
   • 2º dígito: 8 opções (excluindo o primeiro dígito escolhido).
   • 3º dígito: 7 opções (excluindo os dois primeiros dígitos escolhidos).
   Portanto, o total de combinações para os três primeiros caracteres é 9 × 8 × 7 = 504.
2. Letras (4º e 5º caracteres): Como são duas letras, podendo ser repetidas ou não, e o alfabeto tem 26 letras, temos:
   • 4º caractere: 26 opções.
   • 5º caractere: 26 opções.
   Assim, o total de combinações para os dois últimos caracteres é 26 × 26 = 676.

Para obter o número total de senhas possíveis, multiplicamos as possibilidades das duas partes:

504 (algarismos) × 676 (letras) = 340.704.

Portanto, a alternativa correta é a B) 340704, conforme indicado no gabarito.

O problema apresentado envolve o cálculo do número de misturas possíveis entre 8 substâncias diferentes, com a restrição de que três delas (S1, S2 e S3) não podem ser combinadas entre si, pois produzem gás metano. Para resolver essa questão, é necessário utilizar conceitos de combinação simples da matemática.

Primeiramente, calculamos o número total de misturas possíveis sem qualquer restrição. Como cada mistura consiste na combinação de duas substâncias distintas, usamos a fórmula de combinação de 8 elementos tomados 2 a 2:

C(8,2) = 8! / (2! * (8-2)!) = 28 misturas possíveis.

Em seguida, precisamos subtrair as combinações proibidas, ou seja, aquelas que envolvem as substâncias S1, S2 e S3 misturadas entre si. O número de combinações entre essas três substâncias é:

C(3,2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3 misturas proibidas (S1+S2, S1+S3 e S2+S3).

Portanto, o número de misturas permitidas é o total menos as proibidas: 28 - 3 = 25 misturas possíveis.

Assim, a alternativa correta é a C) 25, conforme indicado no gabarito.

Julgue os itens que se seguem.

Considere que, no final de uma reunião de executivos, foram trocados 78 apertos de mãos; cada executivo apertou uma única vez a mão de todos os outros. Nesse caso, o número de executivos presentes nessa reunião era inferior a 15.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é C).

Pesquisa feita entre alunos do ensino médio de escolas públicas revelou as atividades extra-curriculares de suas preferências: teatro, música, coral, dança e xadrez. Acerca dessa pesquisa, julgue os itens que se seguem.

Considerando o conjunto formado pelas atividades extra-curriculares escolhidas pelos alunos, o número de arranjos dos elementos desse conjunto, tomados dois a dois, é igual a 6!.

O gabarito correto é E) ERRADO. A justificativa para essa resposta é que o número de arranjos de 5 elementos (teatro, música, coral, dança e xadrez) tomados dois a dois é calculado pela fórmula de arranjo simples, que resulta em 5 × 4 = 20 possibilidades. Por outro lado, 6! (fatorial de 6) equivale a 720, um valor muito superior ao número correto de arranjos possíveis. Portanto, a afirmação está incorreta.

Pesquisa feita entre alunos do ensino médio de escolas públicas revelou as atividades extra-curriculares de suas preferências: teatro, música, coral, dança e xadrez. Acerca dessa pesquisa, julgue os itens que se seguem.

O número de modos diferentes que se pode dispor 3 livros de teatro, 3 livros de música e 2 livros de xadrez, em uma estante, de modo que livros do mesmo assunto permaneçam sempre juntos, é superior a 400.

Para resolver esse problema, devemos considerar os livros de cada assunto como um único bloco, já que eles devem permanecer juntos. Temos, portanto, três blocos distintos: teatro, música e xadrez. O número de maneiras de organizar esses três blocos na estante é dado pela permutação dos três, ou seja, 3! = 6.

Além disso, dentro de cada bloco, os livros podem ser organizados entre si. Para os livros de teatro, temos 3! = 6 arranjos possíveis; para os de música, também 3! = 6; e para os de xadrez, 2! = 2. Multiplicando todas essas possibilidades, temos:

6 (permutação dos blocos) × 6 (livros de teatro) × 6 (livros de música) × 2 (livros de xadrez) = 432.

Como 432 é superior a 400, o item está correto.

• C) CERTO