Questões Sobre Análise Combinatória - Matemática - concurso

O problema apresentado envolve a formação de uma comissão de 5 membros, escolhidos entre 5 alunos e 4 alunas, com a condição de que pelo menos uma aluna faça parte da comissão. Para determinar se o número de composições distintas é inferior a 100, é necessário analisar as possibilidades de combinação.

Primeiramente, calculamos o total de maneiras de formar a comissão sem restrições, ou seja, escolhendo 5 pessoas entre os 9 disponíveis (5 alunos + 4 alunas). Isso é dado pela combinação de 9 elementos tomados 5 a 5:

C(9,5) = 9! / (5! * 4!) = 126

Em seguida, calculamos o número de comissões que não atendem à condição de ter pelo menos uma aluna, ou seja, comissões formadas apenas por alunos. Como há 5 alunos, o número de combinações possíveis é:

C(5,5) = 1

Para obter o número de comissões que atendem à condição (pelo menos uma aluna), subtraímos o total de combinações pelo número de comissões inválidas (sem alunas):

126 (total) - 1 (apenas alunos) = 125

Portanto, existem 125 composições distintas possíveis para a comissão, o que é superior a 100. Dessa forma, a afirmação de que o número de composições é inferior a 100 está errada.

Resposta: E) ERRADO

Pesquisa feita entre alunos do ensino médio de escolas públicas revelou as atividades extracurriculares de suas preferências: teatro, música, coral, dança e xadrez. Acerca dessa pesquisa, julgue os itens que se seguem.

Se o aluno puder escolher três dessas atividades, então ele terá 10 possibilidades de escolha.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é C) CERTO, pois o número de combinações possíveis ao escolher 3 atividades dentre 5 é calculado pela fórmula de combinação simples (C(n, k) = n! / (k!(n - k)!)). Neste caso, C(5, 3) = 10, confirmando que existem, de fato, 10 maneiras distintas de seleção.

Para resolver o problema proposto, é necessário calcular a quantidade de números ímpares de três algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 2, 3, 5, 7, 8 e 9.

Primeiramente, devemos considerar que um número ímpar deve terminar com um algarismo ímpar. No conjunto fornecido, os algarismos ímpares são 3, 5, 7 e 9, totalizando 4 opções para o último dígito.

Para o primeiro algarismo (centena), não pode ser zero e deve ser diferente do último dígito escolhido. Como o zero não está no conjunto, temos 5 algarismos disponíveis inicialmente (2, 3, 5, 7, 8, 9, menos o algarismo escolhido para a unidade). No entanto, se o algarismo da unidade for um dos disponíveis para a centena, devemos subtrair mais uma opção. Portanto, para a centena, teremos 5 opções (6 algarismos no total menos o algarismo já usado na unidade).

Para o segundo algarismo (dezena), deve ser distinto dos outros dois já escolhidos. Assim, restam 4 algarismos disponíveis (6 no total menos os dois já utilizados na centena e na unidade).

Multiplicando as possibilidades, temos:

• 4 opções para a unidade (ímpares);
• 5 opções para a centena (6 algarismos menos o usado na unidade);
• 4 opções para a dezena (restantes após escolher centena e unidade).

Portanto, o total de números ímpares de três algarismos distintos é dado por: 4 (unidade) × 5 (centena) × 4 (dezena) = 80.

Como 80 é inferior a 90, a afirmação de que a quantidade é superior a 90 está incorreta. Logo, o gabarito correto é E) ERRADO.

O problema apresentado envolve o cálculo do número de sequências possíveis formadas por duas letras e dois algarismos, utilizando um conjunto de 23 letras do alfabeto e os algarismos de 0 a 9. A ordem estabelecida é importante: primeiro duas letras, seguidas por dois números.

Para resolver essa questão, aplicamos o Princípio Fundamental da Contagem, que nos permite multiplicar as possibilidades de escolha para cada posição na sequência. Vejamos como isso funciona:

1. Primeira letra: Temos 23 opções disponíveis (qualquer uma das 23 letras).

2. Segunda letra: Novamente, temos 23 opções, já que não há restrição de repetição no enunciado.

3. Primeiro algarismo: Existem 10 possibilidades (0 a 9).

4. Segundo algarismo: Mais 10 possibilidades (0 a 9).

Multiplicando essas possibilidades, obtemos o total de sequências distintas:

23 (letras) × 23 (letras) × 10 (algarismos) × 10 (algarismos) = 52.900

Portanto, a alternativa correta é B) 52.900, como indicado no gabarito. Esse resultado demonstra como combinações simples de elementos podem gerar um grande número de possibilidades quando consideramos todas as variações ordenadas.

O problema apresentado envolve um cenário em que um apostador acredita ter tido um sonho premonitório sobre os números sorteados na Mega Sena. De acordo com o sonho, as seis dezenas vencedoras estariam entre os números 02, 07, 10, 13, 21, 28, 52 e 46, com a condição adicional de que as dezenas 07 e 13 não apareceriam juntas no mesmo jogo. O objetivo é determinar se o número mínimo de apostas simples necessárias para garantir um prêmio é, de fato, 27, conforme afirmado.

Para resolver essa questão, é necessário analisar as possibilidades de combinação dentro das restrições dadas. Primeiramente, temos um total de 8 números disponíveis (02, 07, 10, 13, 21, 28, 52 e 46). O apostador deve escolher 6 deles, mas com a condição de que 07 e 13 não estejam juntos na mesma aposta. Isso nos leva a um problema de combinação com exclusão.

O número total de combinações possíveis de 6 números entre os 8, sem qualquer restrição, é dado por C(8,6) = 28. No entanto, precisamos excluir as combinações em que 07 e 13 aparecem juntas. Se fixarmos 07 e 13 na aposta, ainda precisamos escolher 4 números entre os 6 restantes (02, 10, 21, 28, 52, 46), o que resulta em C(6,4) = 15 combinações proibidas.

Portanto, o número de apostas válidas é o total de combinações menos as combinações proibidas: 28 - 15 = 13. Isso significa que o apostador precisaria de apenas 13 apostas simples diferentes para garantir que pelo menos uma delas contenha as seis dezenas vencedoras, respeitando a condição do sonho.

Concluímos, então, que a afirmação de que seriam necessárias no mínimo 27 apostas está incorreta. O número correto é 13, tornando a alternativa E) a resposta certa.

Acerca de contagem, o item em questão aborda a combinação de diferentes modelos de equipamentos para formar configurações completas de um laboratório de informática. O problema apresenta as seguintes opções disponíveis no mercado:

• 8 modelos de computadores
• 3 modelos de monitores
• 4 modelos de teclados

Para determinar o número total de configurações possíveis, é necessário aplicar o Princípio Fundamental da Contagem, que estabelece que, se um evento pode ocorrer de m maneiras diferentes e um segundo evento pode ocorrer de n maneiras distintas, então os dois eventos juntos podem ocorrer de m × n maneiras.

No caso apresentado, cada configuração é composta por:

1. 1 computador (entre 8 opções)
2. 1 monitor (entre 3 opções)
3. 1 teclado (entre 4 opções)

Portanto, o número total de configurações possíveis é calculado multiplicando-se as quantidades de cada equipamento:

8 (computadores) × 3 (monitores) × 4 (teclados) = 96 configurações

O item afirma que o número de possíveis configurações é superior a 100, porém, como demonstrado, o resultado correto é 96, que é inferior a 100. Logo, a afirmação está incorreta.

Conclusão: O gabarito correto é E) ERRADO.

Acerca de contagem, julgue os itens a seguir.

Considere que um departamento da UnB pretenda comprar novos equipamentos para seu laboratório de informática e que existam no mercado 8 modelos de computadores, 3 modelos de monitores e 4 modelos de teclados. Desse modo, o número de possíveis configurações — computador, monitor e teclado — que podem ser formadas com esses equipamentos é superior a 100.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é E).

Para resolver o problema de quantos anagramas da palavra "RORAIMA" podem ser formados com as letras "IM" juntas, seguimos os seguintes passos:

1. Tratar "IM" como uma única letra: Ao considerar "IM" como um bloco único, a palavra "RORAIMA" passa a ter 6 elementos em vez de 7 (R, O, R, A, I, M → R, O, R, A, (IM)).
2. Contar as repetições: A letra "R" aparece duas vezes na palavra original. Portanto, ao calcular os anagramas, devemos dividir pelo fatorial das repetições para evitar contagens duplicadas.
3. Cálculo do número de anagramas:
   • Número total de elementos após agrupar "IM": 6.
   • Permutações possíveis: 6! (fatorial de 6) = 720.
   • Ajuste para as repetições de "R": 2! (fatorial de 2) = 2.
   • Anagramas possíveis: 6! / 2! = 720 / 2 = 360.

Portanto, a alternativa correta é B) 360.

O problema apresentado envolve a distribuição de três cargos de assessor técnico em uma empresa, com três homens e três mulheres candidatando-se para ocupá-los. Como cada cargo é distinto e não há repetição de candidatos ou cargos, trata-se de uma questão de permutação.

Primeiramente, calculamos o número total de maneiras distintas de preencher os três cargos com os seis candidatos (3 homens e 3 mulheres). Como a ordem importa e não há repetição, utilizamos o princípio fundamental da contagem para arranjos:

Para o primeiro cargo, há 6 opções de candidatos. Para o segundo, restam 5, e para o terceiro, 4. Portanto, o total de possibilidades é:

6 × 5 × 4 = 120 maneiras distintas.

Em seguida, calculamos o número de maneiras em que nenhuma mulher ocupa algum dos cargos, ou seja, apenas os três homens são selecionados. Nesse caso, para o primeiro cargo, há 3 opções (homens), para o segundo, 2, e para o terceiro, 1:

3 × 2 × 1 = 6 maneiras distintas.

Para encontrar o número de situações em que pelo menos uma mulher ocupa um dos cargos, subtraímos o total de possibilidades pelo número de casos em que apenas homens são selecionados:

120 (total) - 6 (apenas homens) = 114 maneiras.

Portanto, a afirmação de que existem 114 maneiras distintas de ocupar os cargos, desde que pelo menos um seja ocupado por uma mulher, está correta.

O problema apresentado envolve a distribuição de três cargos distintos de assessor técnico entre seis candidatos, sendo três homens e três mulheres, com condições específicas: cada cargo deve ser ocupado por uma pessoa diferente e todos os candidatos têm chances iguais. A questão afirma que existem 120 maneiras distintas de ocupar esses cargos, e o gabarito indica que essa afirmação está correta.

Para verificar a validade dessa afirmação, é necessário analisar o problema sob a ótica da análise combinatória, mais especificamente dos arranjos. Como os cargos são distintos e cada pessoa só pode ocupar um cargo, estamos diante de um caso de arranjo simples, onde a ordem de escolha importa.

O cálculo do número de maneiras distintas de ocupar os três cargos pode ser feito da seguinte forma: para o primeiro cargo, há seis candidatos disponíveis; para o segundo cargo, como uma pessoa já foi selecionada, restam cinco candidatos; e para o terceiro cargo, restam quatro candidatos. Portanto, o número total de possibilidades é dado pelo produto dessas escolhas sucessivas:

6 (para o primeiro cargo) × 5 (para o segundo cargo) × 4 (para o terceiro cargo) = 120 maneiras distintas.

Assim, a afirmação de que existem 120 maneiras distintas de ocupar os cargos está correta, conforme indicado pelo gabarito (alternativa C). O problema ilustra uma aplicação direta do princípio multiplicativo da contagem, onde as escolhas são sequenciais e dependentes, resultando no número total de arranjos possíveis.