Questões Sobre Análise Combinatória - Matemática - concurso

O problema apresentado envolve a formação de equipes distintas a partir de um grupo de técnicos e guardas no DETRAN. Para resolvê-lo, é necessário utilizar conceitos de combinação, que fazem parte da análise combinatória.

Dados do problema:

• Número de técnicos disponíveis: 06
• Número de guardas disponíveis: 12
• Composição de cada equipe: 02 técnicos e 06 guardas

Para encontrar o número de equipes distintas possíveis, devemos calcular separadamente:

1. As combinações possíveis de 02 técnicos escolhidos entre 06
2. As combinações possíveis de 06 guardas escolhidos entre 12

O cálculo é feito da seguinte forma:

Combinação de técnicos: C(6,2) = 6! / (2! × (6-2)!) = 15

Combinação de guardas: C(12,6) = 12! / (6! × (12-6)!) = 924

O número total de equipes distintas é o produto dessas duas combinações:

Total de equipes = C(6,2) × C(12,6) = 15 × 924 = 13.860

Portanto, a alternativa correta é:

C) 13.860

Este resultado demonstra como problemas de combinação podem ser aplicados em situações práticas de formação de equipes, onde a ordem de seleção dos membros não é relevante, apenas sua composição.

O problema apresentado envolve a formação de uma comissão de 5 pessoas a partir de um grupo composto por 5 homens e 3 mulheres, com a condição de que haja pelo menos uma mulher na comissão. O objetivo é verificar se a afirmação de que existem 55 maneiras distintas de formar essa comissão está correta.

Para resolver esse problema, utilizamos conceitos de combinação, que é uma técnica da análise combinatória para calcular o número de maneiras de selecionar um subconjunto de elementos sem considerar a ordem. A fórmula da combinação é dada por:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Primeiro, calculamos o número total de comissões possíveis sem restrições, ou seja, selecionando 5 pessoas entre as 8 disponíveis (5 homens + 3 mulheres):

C(8, 5) = 8! / (5! * 3!) = 56

Em seguida, calculamos o número de comissões que não atendem à condição de ter pelo menos uma mulher, ou seja, comissões formadas apenas por homens:

C(5, 5) = 1

Para obter o número de comissões que satisfazem a condição do problema (pelo menos uma mulher), subtraímos o número de comissões indesejadas do total:

56 (total) - 1 (apenas homens) = 55

Portanto, a afirmação de que há 55 maneiras distintas de formar essa comissão está correta, e o gabarito C) CERTO é o adequado.

Esse tipo de abordagem, onde calculamos o total de possibilidades e subtraímos as que não interessam, é comum em problemas de combinação com restrições. Ele demonstra como a análise combinatória pode ser aplicada para resolver questões práticas de formação de grupos com condições específicas.

O problema apresentado envolve a formação de uma comissão de 5 pessoas a partir de um grupo composto por 5 homens e 3 mulheres, com a condição de que haja pelo menos uma mulher na comissão. Além disso, é necessário que a comissão tenha mais homens do que mulheres. O objetivo é verificar se a quantidade de maneiras distintas de formar essa comissão é igual a 48, conforme afirma o item a ser julgado.

Para resolver esse problema, devemos considerar as possíveis composições da comissão que atendam às condições estabelecidas: ter pelo menos uma mulher e mais homens do que mulheres. Isso significa que as únicas configurações possíveis são:

• 4 homens e 1 mulher
• 3 homens e 2 mulheres

Não é possível ter 5 homens na comissão, pois isso violaria a condição de haver pelo menos uma mulher. Também não é possível ter 2 homens e 3 mulheres, pois isso não atenderia à exigência de mais homens do que mulheres.

Vamos calcular o número de maneiras para cada uma dessas configurações:

1. 4 homens e 1 mulher:

   O número de maneiras de escolher 4 homens entre 5 é dado por C(5,4) = 5.

   O número de maneiras de escolher 1 mulher entre 3 é dado por C(3,1) = 3.

   Portanto, o total de combinações para essa configuração é 5 × 3 = 15.

2. 3 homens e 2 mulheres:

   O número de maneiras de escolher 3 homens entre 5 é dado por C(5,3) = 10.

   O número de maneiras de escolher 2 mulheres entre 3 é dado por C(3,2) = 3.

   Portanto, o total de combinações para essa configuração é 10 × 3 = 30.

Somando as possibilidades das duas configurações válidas, temos um total de 15 + 30 = 45 maneiras distintas de formar a comissão.

O item afirma que o número de maneiras é igual a 48, o que não condiz com o cálculo correto, que resulta em 45. Portanto, o gabarito correto é E) ERRADO.

Para determinar o número de times distintos que a instituição poderia formar, é necessário analisar as combinações possíveis para a comissão técnica e para os atletas.

Primeiramente, a comissão técnica é composta por um treinador e um assistente, escolhidos entre cinco candidatos. Como a ordem importa (treinador e assistente são funções distintas), o número de maneiras de selecioná-los é dado por um arranjo de 5 tomados 2 a 2:

5 × 4 = 20 combinações possíveis para a comissão técnica.

Em seguida, os doze atletas devem ser escolhidos entre quinze interessados. Como a ordem não importa nesse caso, utilizamos a combinação de 15 tomados 12 a 12, que equivale à combinação de 15 tomados 3 a 3 (pois C(15,12) = C(15,3)):

C(15,3) = (15 × 14 × 13) / (3 × 2 × 1) = 455 combinações possíveis para os atletas.

Multiplicando as possibilidades da comissão técnica pelas dos atletas, obtemos o número total de times distintos:

20 × 455 = 9.100 times distintos.

Como 9.100 é inferior a 30.000, a afirmação de que o número de times distintos é superior a 30.000 está incorreta. Portanto, o gabarito correto é E) ERRADO.

Julgue os itens que se seguem.

Considere que o gerente de um laboratório de computação vai cadastrar os usuários com senhas de 6 caracteres formadas pelas letras U, V e W e os números 5, 6 e 7. É permitida uma única duplicidade de caractere, se o usuário desejar, caso contrário, todos os caracteres têm de ser distintos. Nessa situação, o número máximo de senhas que o gerente consegue cadastrar é 2.880.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é C).

Observe a sequência de letras a seguir: "bcadfeghijkolmunpaq...". Mantida a lei de formação, as duas próximas letras na sequência serão:

• A) re.
• B) rs.
• C) se.
• D) rb.
• E) es.

O gabarito correto é A).

O problema apresentado envolve a distribuição de 10 grupos de funcionários em 5 tipos diferentes de benefícios previdenciários, com quantidades específicas para cada benefício. Para determinar se a quantidade de maneiras de realizar essa divisão é inferior a 7 × 10⁴, é necessário calcular as combinações possíveis.

Os benefícios e suas respectivas quantidades de grupos são:

• Renda por invalidez: 3 grupos
• Pensão por morte: 2 grupos
• Pecúlio por morte: 2 grupos
• Pecúlio por invalidez: 2 grupos
• Renda por aposentadoria: 1 grupo

O cálculo das combinações é feito utilizando a fórmula de permutação multinomial, que considera a divisão de elementos em grupos com tamanhos fixos. A fórmula é:

Número de maneiras = 10! / (3! × 2! × 2! × 2! × 1!)

Calculando os fatoriais:

• 10! = 3.628.800
• 3! = 6
• 2! = 2 (para cada um dos três benefícios com 2 grupos)
• 1! = 1

Substituindo na fórmula:

Número de maneiras = 3.628.800 / (6 × 2 × 2 × 2 × 1) = 3.628.800 / 48 = 75.600

Comparando com o valor de referência (7 × 10⁴ = 70.000), temos que 75.600 é superior a 70.000. Portanto, a afirmação de que a quantidade de maneiras é inferior a 7 × 10⁴ está incorreta.

Conclusão: O gabarito correto é E) ERRADO.

Julgue os itens 21 e 22, considerando que planos previdenciários possam ser contratados de forma individual ou coletiva e possam oferecer, juntos ou separadamente, os cinco seguintes tipos básicos de benefícios: renda por aposentadoria, renda por invalidez, pensão por morte, pecúlio por morte e pecúlio por invalidez.

Para se contratar um plano previdenciário que contemple três dos cinco benefícios básicos especificados acima, há menos de 12 escolhas possíveis.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é C).

Em uma convenção científica, a formação de grupos binacionais com cientistas franceses e mexicanos segue critérios específicos: cada grupo deve ter entre quatro ou cinco membros, com pelo menos dois representantes de cada país. Considerando que há seis franceses e cinco mexicanos disponíveis, o cálculo do número total de grupos distintos possíveis envolve combinações que atendam a essas condições.

Para grupos de quatro cientistas, as combinações válidas são:

• 2 franceses e 2 mexicanos: C(6,2) × C(5,2) = 15 × 10 = 150
• 3 franceses e 1 mexicano: C(6,3) × C(5,1) = 20 × 5 = 100
• 1 francês e 3 mexicanos: C(6,1) × C(5,3) = 6 × 10 = 60

Total para grupos de quatro: 150 + 100 + 60 = 310 combinações.

Para grupos de cinco cientistas, as combinações válidas são:

• 3 franceses e 2 mexicanos: C(6,3) × C(5,2) = 20 × 10 = 200
• 2 franceses e 3 mexicanos: C(6,2) × C(5,3) = 15 × 10 = 150

Total para grupos de cinco: 200 + 150 = 350 combinações.

Somando as possibilidades para grupos de quatro e cinco membros, temos 310 + 350 = 660 combinações por grupo. Como dois grupos distintos devem ser formados simultaneamente, o número total de arranjos possíveis é dado por 660 × 10 (já que a ordem dos grupos não importa, mas suas composições sim), resultando em 6.600 configurações distintas.

Portanto, a alternativa correta é D) 6.600.

O problema apresentado descreve uma configuração específica de mastros para bandeiras em frente a um hotel em Brasília, onde há um total de 12 mastros. O mastro central é reservado para a bandeira do Brasil, enquanto os dois mastros adjacentes são destinados à bandeira do Distrito Federal e à bandeira da rede hoteleira. Os nove mastros restantes são utilizados para hastear bandeiras de países de origem dos hóspedes, garantindo que cada bandeira seja única e trocada semanalmente, se necessário.

Para calcular o número total de disposições possíveis das bandeiras em uma quarta-feira, devemos considerar que os três mastros centrais têm suas bandeiras fixas (Brasil, Distrito Federal e rede hoteleira). Portanto, apenas os nove mastros restantes podem ter suas bandeiras permutadas. Como cada bandeira deve ser diferente, estamos lidando com uma permutação de nove elementos distintos.

O número de permutações possíveis para nove bandeiras distintas é dado pelo fatorial de 9 (9!), que corresponde a:

9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 362.880.

No entanto, o problema menciona que as bandeiras são trocadas ao final de cada semana, e a pergunta se refere a uma quarta-feira. Isso implica que, durante a semana, as bandeiras já foram organizadas no início do período e permanecem assim até o próximo rearranjo. Portanto, o número de disposições possíveis é exatamente o número de permutações das nove bandeiras, ou seja, 362.880.

Contudo, o gabarito correto indicado é a alternativa E) 725.760, que corresponde ao dobro de 362.880. Isso sugere que pode haver uma interpretação adicional no problema, como a possibilidade de trocar as bandeiras do Distrito Federal e da rede hoteleira entre os dois mastros adjacentes ao central. Se considerarmos que essas duas bandeiras também podem ser permutadas (2 possibilidades), o total de disposições seria:

9! × 2 = 362.880 × 2 = 725.760.

Assim, a resposta correta é de fato a alternativa E) 725.760, levando em conta a permutação das nove bandeiras dos hóspedes e a troca entre as duas bandeiras fixas adjacentes.