Para a realização de uma pesquisa, são necessárias três atividades (entrega de questionários, tabulação dos dados, análise dos dados). De quantas maneiras diferentes essas atividades podem ser feitas por um grupo de 5 pessoas, de modo que haja pelo menos 1 pessoa para cada tarefa?

Para resolver o problema proposto, é necessário determinar de quantas maneiras diferentes as três atividades (entrega de questionários, tabulação dos dados e análise dos dados) podem ser distribuídas entre um grupo de 5 pessoas, garantindo que cada tarefa tenha pelo menos uma pessoa responsável.

Primeiramente, devemos considerar que cada atividade deve ser atribuída a pelo menos uma pessoa, e que uma mesma pessoa pode realizar mais de uma tarefa. No entanto, a condição de que cada tarefa tenha pelo menos um responsável elimina a possibilidade de alguma atividade ficar sem ninguém designado.

O problema pode ser abordado utilizando o princípio da distribuição de funções, onde cada uma das 5 pessoas pode ser alocada para qualquer uma das 3 tarefas, desde que nenhuma tarefa fique vazia. Isso caracteriza uma função sobrejetora, onde todos os elementos do contradomínio (as tarefas) são mapeados por pelo menos um elemento do domínio (as pessoas).

O número de maneiras de distribuir 5 pessoas em 3 tarefas, garantindo que nenhuma tarefa fique sem pessoa, é dado pela fórmula:

3^5 - C(3,1)*2^5 + C(3,2)*1^5

Onde:

• 3^5 representa o total de maneiras de distribuir as pessoas sem restrições (243).
• C(3,1)*2^5 subtrai as distribuições onde pelo menos uma tarefa fica vazia (96).
• C(3,2)*1^5 adiciona novamente as distribuições onde duas tarefas ficam vazias (3), pois foram subtraídas em excesso no passo anterior.

Calculando:

243 - 96 + 3 = 150

Portanto, existem 150 maneiras diferentes de distribuir as três atividades entre as 5 pessoas, garantindo que cada tarefa tenha pelo menos um responsável. A alternativa correta é a D) 150.