Um comerciante pediu ao caixa de um banco que lhe trocasse R$ 5,00 em moedas de 10 e 25 centavos; além disso, solicitou também que houvesse pelo menos um tipo de cada moeda e que suas respectivas quantidades fossem números primos entre si. Nessas condições, de quantos modos o caixa pode atender ao pedido desse comerciante?

O problema apresentado envolve a combinação de moedas de 10 e 25 centavos para totalizar R$ 5,00, atendendo a condições específicas: pelo menos uma moeda de cada tipo e quantidades primas entre si. Vamos analisar como resolver essa questão.

Primeiro, definimos as variáveis:

• x: quantidade de moedas de 10 centavos (R$ 0,10)
• y: quantidade de moedas de 25 centavos (R$ 0,25)

A equação que representa o total é:

0,10x + 0,25y = 5,00

Multiplicando ambos os lados por 100 para facilitar os cálculos:

10x + 25y = 500

Simplificando a equação por 5:

2x + 5y = 100

Isolando x:

x = (100 - 5y) / 2

Para que x seja inteiro, (100 - 5y) deve ser par. Como 100 é par e 5y é ímpar se y for ímpar, y precisa ser par para garantir que a subtração resulte em um número par.

Além disso, as condições do problema exigem:

1. x ≥ 1 e y ≥ 1
2. MDC(x, y) = 1 (quantidades primas entre si)

Testando valores pares para y:

• y = 2: x = (100 - 10)/2 = 45 → MDC(45, 2) = 1 (válido)
• y = 4: x = (100 - 20)/2 = 40 → MDC(40, 4) = 4 (inválido)
• y = 6: x = (100 - 30)/2 = 35 → MDC(35, 6) = 1 (válido)
• y = 8: x = (100 - 40)/2 = 30 → MDC(30, 8) = 2 (inválido)
• y = 10: x = (100 - 50)/2 = 25 → MDC(25, 10) = 5 (inválido)
• y = 12: x = (100 - 60)/2 = 20 → MDC(20, 12) = 4 (inválido)
• y = 14: x = (100 - 70)/2 = 15 → MDC(15, 14) = 1 (válido)
• y = 16: x = (100 - 80)/2 = 10 → MDC(10, 16) = 2 (inválido)
• y = 18: x = (100 - 90)/2 = 5 → MDC(5, 18) = 1 (válido)

As combinações válidas são:

1. (x=45, y=2)
2. (x=35, y=6)
3. (x=15, y=14)
4. (x=5, y=18)

Portanto, existem quatro modos de atender ao pedido do comerciante, conforme a alternativa C).