Uma mala, para ser aberta, precisa de uma senha composta por quatro algarismos. Ana foi viajar com essa mala e quando foi abri-la, percebeu que esquecera a senha. Ela lembrava que o primeiro algarismo era o 1, que não havia algarismos repetidos e que o 4 aparecia em alguma posição. O número máximo de tentativas diferentes para Ana abrir a mala é:

O problema apresentado envolve o cálculo do número máximo de tentativas que Ana pode realizar para abrir sua mala, considerando as condições específicas da senha esquecida. A senha é composta por quatro algarismos, sendo o primeiro fixo como "1", sem repetição de dígitos e com o algarismo "4" presente em alguma das posições restantes. Para resolver essa questão, é necessário aplicar princípios combinatórios de forma sistemática.

Inicialmente, sabemos que a senha tem a estrutura 1 _ _ _, onde os três últimos dígitos devem ser preenchidos sem repetição e com o "4" ocupando uma das três posições disponíveis. O primeiro passo é determinar em quantas posições o "4" pode aparecer: ele pode estar na segunda, terceira ou quarta posição. Cada uma dessas situações gera um cenário distinto para os demais algarismos.

Caso 1: Se o "4" estiver na segunda posição (1 4 _ _), os dois últimos dígitos devem ser escolhidos entre os 8 algarismos restantes (0,2,3,5,6,7,8,9), pois não podem repetir e já foram usados o "1" e o "4". O número de possibilidades para esse caso é calculado por arranjo: 8 opções para o terceiro dígito e 7 para o quarto, totalizando 8 × 7 = 56 combinações.

Caso 2: Se o "4" ocupar a terceira posição (1 _ 4 _), o segundo dígito pode ser qualquer um dos 8 algarismos não utilizados (excluindo "1" e "4"), e o quarto dígito terá 7 opções restantes. Novamente, isso resulta em 8 × 7 = 56 possibilidades.

Caso 3: Por fim, se o "4" estiver na quarta posição (1 _ _ 4), a lógica se repete: 8 opções para o segundo dígito e 7 para o terceiro, gerando mais 56 combinações.

Somando as possibilidades dos três casos (56 + 56 + 56), obtemos um total de 168 tentativas diferentes. Portanto, a alternativa correta é a D) 168, conforme indicado no gabarito. Esse resultado demonstra a importância de considerar todas as variações possíveis dentro das restrições dadas, aplicando métodos combinatórios para garantir a contagem precisa das opções válidas.