Uma permutação de um número natural é um outro número natural que possui exatamente os mesmos algarismos em outra ordem. Se todas as permutações do número 31452 foram escritas em ordem crescente, o número que ocupará a 80ª posição nessa lista será:

Para resolver o problema de encontrar a 80ª permutação do número 31452 em ordem crescente, é necessário seguir um método sistemático que envolve análise combinatória e ordenação de permutações.

O número 31452 possui 5 algarismos distintos, o que significa que o total de permutações possíveis é 5! (fatorial de 5), ou seja, 120 permutações. Para encontrar a 80ª posição, podemos utilizar a abordagem de decomposição baseada no fatorial.

Primeiro, organizamos os algarismos em ordem crescente: 1, 2, 3, 4, 5. Em seguida, determinamos quantas permutações começam com cada algarismo. Como há 4! = 24 permutações para cada algarismo inicial, podemos calcular:

• Permutações começando com 1: posições 1 a 24
• Permutações começando com 2: posições 25 a 48
• Permutações começando com 3: posições 49 a 72
• Permutações começando com 4: posições 73 a 96

Como a 80ª posição está no intervalo das permutações que começam com 4 (73 a 96), sabemos que o primeiro algarismo é 4. Agora, restam os algarismos 1, 2, 3, 5 para permutar. Precisamos encontrar a (80 - 72) = 8ª permutação desse subconjunto.

Repetimos o processo para os algarismos restantes, considerando 3! = 6 permutações para cada próximo algarismo:

• Permutações começando com 41: posições 73 a 78
• Permutações começando com 42: posições 79 a 84

A 80ª posição está no intervalo das permutações que começam com 42 (79 a 84). Agora, restam os algarismos 1, 3, 5. Precisamos encontrar a (80 - 78) = 2ª permutação desse subconjunto.

Ordenando os algarismos restantes em ordem crescente: 1, 3, 5. A segunda permutação é 1, 5, 3. Portanto, o número correspondente à 80ª posição é 42153.

Assim, a alternativa correta é E) 42153.