Considere a circunferência de equação x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0 . A área e o perímetro do triângulo com vértices nos pontos P (0,3) , Q (-1,-2) e R, em que R é o ponto de interseção entre a circunferência e o eixo das abscissas são, respectivamente:

Considere a circunferência de equação x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 . A área e o perímetro do triângulo com vértices nos pontos P (0,3) , Q (-1,-2) e R, em que R é o ponto de interseção entre a circunferência e o eixo das abscissas são, respectivamente:

• A)( ) 13 e √26 + 2√13
• B)( ) 7√2 e √13 (√2 + 1 ) + √5
• C)( ) 13√2 e √13 (√2+ 1) +√5
• D)( ) 13√2 e √13 (√2 + 2 )
• E)( ) 1√2 e 1 +√17 +√26

Para encontrar a área e o perímetro do triângulo, primeiramente precisamos encontrar as coordenadas do ponto R. Como o ponto R é o ponto de interseção entre a circunferência e o eixo das abscissas, sabemos que a coordenada y do ponto R é igual a zero. Substituindo y = 0 na equação da circunferência, temos:

x² - 4x + 4 = 0

Resolve essa equação quadrada e encontre as raízes:

x = 2

Portanto, as coordenadas do ponto R são (2,0). Agora, podemos calcular a área do triângulo usando a fórmula da área de um triângulo:

A = (base × altura) / 2

Nesse caso, a base do triângulo é a distância entre os pontos P e Q, que é igual a:

|PQ| = √((-1-0)² + (-2-3)²) = √26

A altura do triângulo é a distância entre o ponto R e a linha que passa pelos pontos P e Q, que é igual a:

h = |(3-0)/√2| = √13

Portanto, a área do triângulo é:

A = (√26 × √13) / 2 = 13√2

Agora, podemos calcular o perímetro do triângulo somando as distâncias entre os vértices:

|PR| = √((2-0)² + (0-3)²) = √13

|QR| = √((-1-(-1))² + (-2-0)²) = √5

|PQ| = √26 (já calculado anteriormente)

O perímetro do triângulo é:

P = |PR| + |QR| + |PQ| = √13 + √5 + √26 = √13 (√2 + 2 )

Portanto, a resposta correta é a opção D) 13√2 e √13 (√2 + 2 ).