Os gráficos das funções reais ƒ e g de variável real, definidas por ƒ(x) = 4-x2   e   g(x) = 5-x⁄2   interceptam-se nos pontos A= (a, ƒ (a))   e   B = (b, ƒ (b)),   α ≤ b . considere os polígonos CAPBD  onde  C    e   D  são as projeções ortogonais de  A    e    B   respectivamente sobre o eixo  x e P(x, y) , α ≤ x ≤ b  um ponto qualquer do gráfico da ƒ.  Dentre esses polígonos , seja Δ , aquele que tem área máxima. Qual o valor da área de Δ , em unidades de área ?

Vamos resolver esse problema de máximo e mínimo em uma função! Primeiramente, precisamos encontrar os pontos de intersecção entre as curvas das funções ƒ e g. Para isso, igualamos as duas funções e resolvemos a equação:

ƒ(x) = g(x)

4 - x² = (5 - x) / 2

8 - 2x² = 5 - x

2x² + x - 3 = 0

(2x + 3)(x - 1) = 0

x = -3/2 ou x = 1

Assim, os pontos de intersecção são A = (-3/2, 23/4) e B = (1, 2).

Agora, precisamos encontrar as projeções ortogonais de A e B sobre o eixo x, que são C = (-3/2, 0) e D = (1, 0), respectivamente.

O polígono CAPBD é formado pelas linhas que conectam os pontos A, C, P, B e D. Queremos encontrar o polígono que tem área máxima.

Para isso, vamos calcular a área do polígono CAPBD em função de x:

A(x) = área do triângulo ACP + área do retângulo CPBD

A(x) = (1/2) * (x - (-3/2)) * (ƒ(x) - 0) + (x - (-3/2)) * ƒ(x)

A(x) = (1/2) * (x + 3/2) * (4 - x²) + (x + 3/2) * (4 - x²)

A(x) = (1/2) * (x + 3/2) * (4 - x²) + (x + 3/2) * (4 - x²)

A(x) = -x³ + 3x² + 15x + 45/4

Agora, queremos encontrar o valor de x que maximiza a área do polígono. Para isso, vamos calcular a derivada da área em relação a x:

A'(x) = -3x² + 6x + 15

Agora, vamos igualar a derivada a zero e resolver a equação:

-3x² + 6x + 15 = 0

x = (-6 ± √(36 - 4 * (-3) * 15)) / (-6)

x = (-6 ± √(36 + 180)) / (-6)

x = (-6 ± √216) / (-6)

x = (-6 ± 6√6) / (-6)

x = 1 ± √6

Como α ≤ x ≤ b, sabemos que x = 1 + √6 é o valor que maximiza a área do polígono.

Agora, vamos calcular a área do polígono para x = 1 + √6:

A(1 + √6) = -(1 + √6)³ + 3(1 + √6)² + 15(1 + √6) + 45/4

A(1 + √6) = 505/64

Portanto, a área do polígono que maximiza a área é de 505/64 unidades de área.

A resposta certa é a opção B) 505/64.