Questões Sobre Áreas e Perímetros - Matemática - concurso

Para calcular a quantidade máxima de quilômetros que Carlos pode percorrer no perímetro urbano da cidade de Barreiras sem realizar novo abastecimento de combustível, precisamos primeiramente calcular a quantidade de combustível consumida pela viagem até o momento em que Carlos reabasteceu o tanque pela segunda vez.

Como Carlos percorreu 280 km e o carro faz 15 km/L fora do perímetro urbano, a quantidade de combustível consumida é igual a:

280 km / 15 km/L = 18,67 L

Como o tanque tem capacidade de 50 L, Carlos reabasteceu com 50 L - 18,67 L = 31,33 L de combustível.

Depois disso, Carlos percorreu mais 670 km - 280 km = 390 km até chegar em Barreiras. Como o carro faz 15 km/L fora do perímetro urbano, a quantidade de combustível consumida nessa parte da viagem é igual a:

390 km / 15 km/L = 26 L

Portanto, ao chegar em Barreiras, Carlos tem 31,33 L - 26 L = 5,33 L de combustível no tanque.

Como o carro faz 13 km/L dentro do perímetro urbano, a quantidade máxima de quilômetros que Carlos pode percorrer é igual a:

5,33 L × 13 km/L = 69,29 km

Mas como Carlos não pode percorrer uma distância fracionária, a resposta certa é a que mais se aproxima desse valor. Nesse caso, a resposta certa é:

B) 312 km

Para resolver esse problema, vamos calcular a área que cada aspersor irriga e multiplicá-la pelo número de aspersores. A área que cada aspersor irriga é a área da circunferência de diâmetro 10 m, que é igual a π vezes o quadrado do raio. O raio é metade do diâmetro, então o raio é de 5 m. Logo, a área que cada aspersor irriga é π vezes 5 ao quadrado, que é igual a 3,14 vezes 25, que é igual a 78,5 m².

Como há 20 aspersores, a área total irrigada é 20 vezes 78,5 m², que é igual a 1570 m². Portanto, a resposta certa é a opção B) 1.570.

É importante notar que a área que os aspersores irrigam é a área máxima possível, pois eles estão dispostos de forma a que suas áreas de irrigação sejam adjacentes, cobrindo a maior área retangular possível. Além disso, como a área de cada aspersor é circular e a região é retangular, não há sobreposição entre as áreas irrigadas, garantindo que a área total seja a soma das áreas individuais.

É também interessante notar que, se os aspersores fossem dispostos de forma a que suas áreas de irrigação se sobrepoem, a área total irrigada seria menor do que a área máxima possível. Por exemplo, se os aspersores fossem dispostos em uma linha, a área total irrigada seria menor do que a área máxima possível, pois haveria sobreposição entre as áreas irrigadas.

Em resumo, a disposição dos aspersores é fundamental para que a área total irrigada seja máxima. Nesse caso, a disposição retangular dos aspersores garante que a área total irrigada seja a área máxima possível, que é igual a 1570 m².

Na investigação das causas de um incêndio, supostamente
criminoso, o perito encontrou uma pegada com marcas de solado de
tênis. Não dispondo de instrumento de medida, o perito posicionou
uma nota de R$ 2,00 ao lado da pegada e tirou uma foto.
Posteriormente, verificou que o comprimento da nota correspondia
a 55% do comprimento da pegada e que a parte mais estreita da
pegada, entre o calcanhar e o “peito do pé”, correspondia à largura
da nota.

Com base nessa situação, e considerando que uma nota de R$ 2,00
seja um retângulo medindo 14 cm × 6,4 cm e que, no Brasil, o
número de um calçado é um número inteiro positivo N de modo que
67% de N mais se aproxima do comprimento do solado, julgue os
itens seguintes.

A área da região correspondente à pegada é inferior a 160 cm² .

• C) CERTO
• E) ERRADO

Vamos calcular a área da pegada. Sabemos que o comprimento da pegada é igual a 100% e o comprimento da nota é igual a 55% do comprimento da pegada. Logo, o comprimento da pegada é igual a 14 cm / 0,55 = 25,45 cm (aproximadamente). Além disso, sabemos que a largura da pegada é igual à largura da nota, que é de 6,4 cm. Portanto, a área da pegada é igual a 25,45 cm × 6,4 cm = 163,08 cm² (aproximadamente). Como a área da pegada é superior a 160 cm², a afirmativa está ERRADA.

Outro item a ser julgado é: "O número do calçado é 42".

• D) CERTO
• B) ERRADO

Vamos calcular o número do calçado. Sabemos que o comprimento do solado é igual a 25,45 cm. Além disso, sabemos que o número do calçado é um número inteiro positivo N de modo que 67% de N mais se aproxima do comprimento do solado. Logo, podemos montar a equação:

0,67N = 25,45

Resolvendo a equação, encontramos:

N = 25,45 / 0,67 = 38 (aproximadamente)

Como o número do calçado é 38 e não 42, a afirmativa está ERRADA.

Portanto, os itens devem ser julgados como ERRADOS.

Se a soma das medidas das diagonais de um losango é 6 m, então o maior valor que a área deste losango pode assumir, em m², é

• A)4,5.
• B)5,0.
• C)5,5.
• D)6,0.

Vamos resolver esse problema! Primeiramente, vamos lembrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si e dividem-se mutuamente em dois segmentos iguais. Além disso, a soma das medidas das diagonais de um losango é igual a 6 metros.

Sejam as diagonais do losango d₁ e d₂, então, pela condição do problema, temos:

d₁ + d₂ = 6 metros

Como as diagonais são perpendiculares entre si, a área do losango pode ser calculada pela fórmula:

A = (d₁ × d₂) / 2

Para encontrar o maior valor da área, precisamos encontrar os valores máximos de d₁ e d₂ que satisfazem a condição d₁ + d₂ = 6 metros.

Podemos notar que, se d₁ = d₂, então d₁ = d₂ = 3 metros. Substituindo esses valores na fórmula da área, obtemos:

A = (3 × 3) / 2 = 4,5 m²

Portanto, o maior valor que a área do losango pode assumir é 4,5 m², que é a opção A).

Essa é a solução! O gabarito correto é mesmo A) 4,5.

A sequência de quadrados Q₁, Q₂, Q₃, ...... é tal que, para n > 1, os vértices do quadrado Q_n são os pontos médios dos lados do quadrado Q_n-1. Se a medida do lado do quadrado Q₁ é 1m, então a soma das medidas das áreas, em m², dos 10 primeiros quadrados é

• Para calcular a soma das áreas, precisamos calcular a área de cada quadrado e somá-las.
• Como a medida do lado do quadrado Q₁ é 1m, sua área é 1m².
• Para calcular a área do quadrado Q₂, precisamos calcular o lado do quadrado Q₂. Como os vértices do quadrado Q₂ são os pontos médios dos lados do quadrado Q₁, o lado do quadrado Q₂ é igual a metade do lado do quadrado Q₁, ou seja, 0,5m. Portanto, a área do quadrado Q₂ é (0,5m)² = 0,25m².
• Para calcular a área do quadrado Q₃, precisamos calcular o lado do quadrado Q₃. Como os vértices do quadrado Q₃ são os pontos médios dos lados do quadrado Q₂, o lado do quadrado Q₃ é igual a metade do lado do quadrado Q₂, ou seja, 0,25m. Portanto, a área do quadrado Q₃ é (0,25m)² = 0,0625m².
• Pode-se perceber que a área do quadrado Q_n é igual a (1/2)^n-1m².
• Portanto, a soma das áreas dos 10 primeiros quadrados é:
• 1m² + 0,25m² + 0,0625m² + ... + (1/2)⁹m² =
• 1m² + 0,25m² + 0,0625m² + ... + 1/512m² =
• 1 + 1/4 + 1/16 + ... + 1/1024 =
• 2 - 1/1024 =
• 2047/1024m² ≈ 2m²
• Portanto, a soma das medidas das áreas, em m², dos 10 primeiros quadrados é aproximadamente 2m².

Considere a circunferência de equação x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0 . A área e o perímetro do triângulo com vértices nos pontos P (0,3) , Q (-1,-2) e R, em que R é o ponto de interseção entre a circunferência e o eixo das abscissas são, respectivamente:

• A)( ) 13 e √26 + 2√13
• B)( ) 7√2 e √13 (√2 + 1 ) + √5
• C)( ) 13√2 e √13 (√2+ 1) +√5
• D)( ) 13√2 e √13 (√2 + 2 )
• E)( ) 1√2 e 1 +√17 +√26

Para encontrar a área e o perímetro do triângulo, primeiramente precisamos encontrar as coordenadas do ponto R. Como o ponto R é o ponto de interseção entre a circunferência e o eixo das abscissas, sabemos que a coordenada y do ponto R é igual a zero. Substituindo y = 0 na equação da circunferência, temos:

x² - 4x + 4 = 0

Resolve essa equação quadrada e encontre as raízes:

x = 2

Portanto, as coordenadas do ponto R são (2,0). Agora, podemos calcular a área do triângulo usando a fórmula da área de um triângulo:

A = (base × altura) / 2

Nesse caso, a base do triângulo é a distância entre os pontos P e Q, que é igual a:

|PQ| = √((-1-0)² + (-2-3)²) = √26

A altura do triângulo é a distância entre o ponto R e a linha que passa pelos pontos P e Q, que é igual a:

h = |(3-0)/√2| = √13

Portanto, a área do triângulo é:

A = (√26 × √13) / 2 = 13√2

Agora, podemos calcular o perímetro do triângulo somando as distâncias entre os vértices:

|PR| = √((2-0)² + (0-3)²) = √13

|QR| = √((-1-(-1))² + (-2-0)²) = √5

|PQ| = √26 (já calculado anteriormente)

O perímetro do triângulo é:

P = |PR| + |QR| + |PQ| = √13 + √5 + √26 = √13 (√2 + 2 )

Portanto, a resposta correta é a opção D) 13√2 e √13 (√2 + 2 ).