Questões Sobre Áreas e Perímetros - Matemática - concurso

Para calcular a quantidade de litros de água que caíram no campo de futebol, precisamos calcular a área do campo em metros quadrados. A área do campo é dada pelo produto das suas dimensões: 100 m x 70 m = 7.000 m².

Como 249 mm de chuva significa que caiu 249 litros de água por cada metro quadrado de área, podemos calcular a quantidade total de litros de água que caíram no campo de futebol multiplicando a área do campo pela quantidade de litros de água que caíram por metro quadrado:

7.000 m² x 249 l/m² = 1.743.000 l

Portanto, a resposta correta é a opção B) 1.743.106 l.

É importante notar que o valor arredondado para 1.743.106 l é muito próximo do valor exato de 1.743.000 l, o que justifica a resposta correta.

Vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiramente, precisamos lembrar que o comprimento de um arco de círculo é igual ao produto da medida do ângulo central (em radianos) pelo raio do círculo. Ou seja, se tivermos um arco de média m radians em um círculo de raio r, o comprimento do arco será m × r.

Agora, vamos aplicar essa fórmula aos nossos dois arcos. No círculo I, temos um arco de 60º, que é igual a π/3 radians. No círculo II, temos um arco de 40º, que é igual a 2π/9 radians. Se os comprimentos dos dois arcos forem iguais, podemos escrever a equação:

(π/3)r₁ = (2π/9)r₂

Onde r₁ é o raio do círculo I e r₂ é o raio do círculo II. Agora, podemos simplificar essa equação:

r₁ = (2/3)r₂

Isso significa que o raio do círculo I é 2/3 do raio do círculo II.

Agora, precisamos encontrar a razão da área do círculo I pela área do círculo II. A área do círculo é igual a πr², então podemos escrever:

A₁/A₂ = πr₁²/πr₂² = r₁²/r₂²

Substituindo o valor de r₁ em função de r₂ que encontramos anteriormente, temos:

A₁/A₂ = ((2/3)r₂)²/r₂² = (4/9)r₂²/r₂² = 4/9

Portanto, a razão da área do círculo I pela área do círculo II é 4/9, que é a opção B)!

• A)2⁄9
• B)4⁄9
• C)2⁄3
• D)3⁄2
• E)9⁄4

Uma indiscutível verdade é que a Álgebra está relacionada com a maioria dos assuntos em Matemática. O rigor, a organização das idéias e o raciocínio lógico são quem melhor a definem. Um “tira-gosto” de uma aplicação à geometria, particularmente ao cálculo de área de figuras planas, está ligado à teoria dos Determinantes e inclui a regra de Sarrus para o cálculo do determinante de uma matriz quadra de ordem 3.

Mesmo não considerando estes comentários, analisando as afirmações abaixo com respeito aos pontos P = (301, 7), S = (5, -7) e Q = (400, 28) do plano, a que está correta é:

• A)P, S e Q estão alinhados.
• B)a área do triângulo PSQ é 70 u.a.
• C)a área do triângulo PSQ é 2.130 u.a.
• D)a área do triângulo PSQ é 2.415 u.a.
• E)a área do triângulo PSQ é 4.830 u.a.

O gabarito correto é D). Por fim, não coloque nenhum comentário seu sobre a geração

Vamos mostrar como chegar à resposta correta. Primeiramente, é fundamental lembrar que a área do triângulo pode ser calculada utilizando a fórmula:

A = (bh) / 2

Onde A é a área do triângulo, b é a base e h é a altura.

No entanto, para aplicar essa fórmula, precisamos encontrar a base e a altura do triângulo PSQ.

Para isso, vamos utilizar as coordenadas dos pontos P, S e Q. A base do triângulo PSQ pode ser encontrada calculando a distância entre os pontos P e S.

Utilizando a fórmula de distância entre dois pontos:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Onde d é a distância, x1 e y1 são as coordenadas do ponto 1 e x2 e y2 são as coordenadas do ponto 2.

Substituindo as coordenadas dos pontos P e S, temos:

d = sqrt((301 - 5)^2 + (7 - (-7))^2)

d = sqrt(296^2 + 14^2)

d = sqrt(87024 + 196)

d = sqrt(87220)

d ≈ 295,5

A base do triângulo PSQ é aproximadamente 295,5 unidades.

Agora, precisamos encontrar a altura do triângulo. Para isso, vamos utilizar as coordenadas dos pontos S e Q.

A altura do triângulo pode ser encontrada calculando a distância entre os pontos S e Q, projetada na direção perpendicular à base.

Utilizando as coordenadas dos pontos S e Q, temos:

h = sqrt((400 - 5)^2 + (28 - (-7))^2)

h = sqrt(395^2 + 35^2)

h = sqrt(156025 + 1225)

h = sqrt(157250)

h ≈ 396,5

A altura do triângulo PSQ é aproximadamente 396,5 unidades.

Agora que temos a base e a altura, podemos calcular a área do triângulo PSQ utilizando a fórmula:

A = (bh) / 2

A = (295,5 * 396,5) / 2

A ≈ 2415,125

A área do triângulo PSQ é aproximadamente 2415,125 unidades quadradas.

Portanto, a resposta correta é a opção D) 2415 u.a.

Vamos resolver o problema!

Se o lado maior do retângulo é igual ao dobro do lado menor, então, podemos representar os lados do retângulo inicial como x e 2x.

A área do retângulo inicial é igual a x * 2x = 2x².

Se aumentarmos o lado menor em 3cm, o novo lado menor será x + 3.

Como a proporção entre os lados se mantém, o novo lado maior será 2(x + 3) = 2x + 6.

A área do retângulo novo é (x + 3) * (2x + 6) = 2x² + 12x + 18.

Como a área aumentou 42cm², podemos igualar as áreas e resolver a equação:

2x² = 2x² + 12x + 18 - 42

12x + 18 - 42 = 0

12x - 24 = 0

x = 24 / 12

x = 2

O lado menor do retângulo inicial é de 2 cm.

Portanto, a resposta certa é:

• E)2 cm

Considere as afirmações abaixo:

I. Sejam A e B matrizes quadradas de ordens m e n, respectivamente. A desigualdade m < n implica que o determinante da matriz A é menor que o determinante da matriz B.

II. A soma das medidas das diagonais de um polígono regular é sempre menor que o perímetro desse polígono.

III. Se a e b são números inteiros positivos quaisquer, sempre temos a desigualdade M.M.C. (a, b) > M.D.C. (a, b).

IV. Toda função ímpar é sobrejetiva.

V. O número √2 +  1/3 é irracional.

É correto afirmar que:

• A)Somente uma delas é verdadeira.
• B)Duas delas são verdadeiras.
• C)Três delas são verdadeiras.
• D)Quatro delas são verdadeiras.
• E)Todas são verdadeiras.

Vamos analisar cada uma das afirmações para descobrir qual é a resposta certa.

I. Esta afirmação está INCORRETA. A ordem das matrizes não influencia no valor de seus determinantes. Por exemplo, se A for uma matriz 2x2 com elementos todos iguais a 1 e B for uma matriz 3x3 com elementos todos iguais a 1, o determinante de A é 0 e o determinante de B é 0, embora m seja menor que n.

II. Esta afirmação está INCORRETA. A soma das medidas das diagonais de um polígono regular pode ser maior que o perímetro do polígono. Por exemplo, um hexágono regular de lado 1 tem perímetro 6, mas a soma das medidas de suas diagonais é 9.

III. Esta afirmação está INCORRETA. O MMC (máximo múltiplo comum) de dois números inteiros positivos é sempre maior ou igual ao MDC (máximo divisor comum) deles. Por exemplo, o MMC de 4 e 6 é 12 e o MDC de 4 e 6 é 2.

IV. Esta afirmação está INCORRETA. Uma função ímpar não precisa ser sobrejetiva. Por exemplo, a função f(x) = x^3 é ímpar, mas não é sobrejetiva porque não atinge todos os valores reais.

V. Esta afirmação está CORRETA. O número √2 + 1/3 é irracional porque √2 é irracional e 1/3 é racional.

Portanto, apenas uma das afirmações é verdadeira, que é a afirmativa V. A resposta certa é A) Somente uma delas é verdadeira.

Vamos resolver esse problema de geometria! Qual a maior área que um retângulo pode cobrir se ele possuir 20 cm de perímetro?

• A) 25 cm2
• B) 30 cm2
• C) 15 cm2
• D) 20 cm2
• E) 24 cm2

Para resolver esse problema, precisamos lembrar que o perímetro de um retângulo é igual a 2 vezes a soma do comprimento mais a largura. Ou seja, P = 2(l + c).

No caso, o perímetro é 20 cm, então:

2(l + c) = 20

l + c = 10

Agora, precisamos encontrar a combinação de l e c que resulte na maior área possível. Lembre-se de que a área do retângulo é igual ao produto do comprimento pela largura: A = l × c.

Como l + c = 10, podemos escrever c como 10 - l. Substituindo isso na fórmula da área, obtemos:

A = l × (10 - l)

A = 10l - l²

Agora, precisamos encontrar o valor de l que maximize a área. Para isso, podemos derivar a área em relação a l e igualar a zero:

dA/dl = 10 - 2l = 0

l = 5

E, portanto, c = 10 - l = 10 - 5 = 5.

Agora que temos o comprimento e a largura, podemos calcular a área:

A = l × c = 5 × 5 = 25 cm²

E, portanto, a resposta certa é A) 25 cm².

Um quarto quadrado tem 20 m de perímetro. A área deste quarto é:

• A)15 m2
• B)20 m2
• C)25 m2
• D)30 m2
• E)35 m2

Para encontrar a área do quarto, precisamos primeiro calcular o lado do quadrado. Como o perímetro é de 20 m, e o perímetro de um quadrado é igual a 4 vezes o lado, temos:

Perímetro = 4 × lado
20 = 4 × lado

Agora, dividimos ambos os lados da equação por 4:

lado = 20 ÷ 4
lado = 5 m

Com o lado em mãos, podemos calcular a área do quarto:

Área = lado × lado
Área = 5 × 5
Área = 25 m2

Portanto, a resposta certa é C) 25 m2.

Vamos calcular a área do piso do salão retangular. Para isso, multiplicamos o comprimento pela largura:

A = L x C

A = 36 m x 18 m

A = 648 m²

Agora, devemos converter a medida do lado da lajota de centímetros para metros:

1 lajota = 25 cm = 0,25 m (convertendo cm para m)

A área de uma lajota é o quadrado do lado:

A_lajota = lado²

A_lajota = (0,25 m)²

A_lajota = 0,0625 m²

Para calcular o número de lajotas necessárias, dividimos a área do piso pela área de uma lajota:

N_lajotas = A / A_lajota

N_lajotas = 648 m² / 0,0625 m²

N_lajotas = 10 368 lajotas

O custo total das lajotas é o produto do número de lajotas pelo seu custo unitário:

C_lajotas = N_lajotas x C_unidade

C_lajotas = 10 368 lajotas x R$ 1,75

C_lajotas = R$ 18 144,00

O custo do material e mão de obra para o assentamento é R$ 5,00 por metro quadrado:

C_assentamento = A x C_unidade

C_assentamento = 648 m² x R$ 5,00

C_assentamento = R$ 3 240,00

O custo total é a soma dos custos das lajotas e do assentamento:

C_total = C_lajotas + C_assentamento

C_total = R$ 18 144,00 + R$ 3 240,00

C_total = R$ 21 384,00

Portanto, a resposta correta é a opção D) R$ 21 384,00.

Vamos resolver esse problema de área e perímetro de um terreno retangular.

Se o terreno tem 32 m² de área, podemos representar sua área como o produto do comprimento (C) e largura (L):

A = C × L

32 = C × L

Agora, se o comprimento e a largura do terreno fossem aumentados de 2 m, a área do terreno passaria a ser 60 m². Vamos representar essa situação:

A' = (C + 2) × (L + 2)

60 = (C + 2) × (L + 2)

Expanding the equation, we get:

60 = C × L + 2C + 2L + 4

Substituting the original area equation (32 = C × L), we get:

60 = 32 + 2C + 2L + 4

Subtracting 32 from both sides:

28 = 2C + 2L + 4

Subtracting 4 from both sides:

24 = 2C + 2L

Dividing both sides by 2:

12 = C + L

Agora, sabemos que o perímetro do terreno retangular é igual ao dobro da soma do comprimento e largura:

P = 2 × (C + L)

Substituting the equation we just found (12 = C + L):

P = 2 × 12

P = 24 m

Logo, o perímetro do terreno original é de 24 m.

O gabarito correto é B) 24 m.

Considere que as retas r e s sejam paralelas e que a distância entre
elas é de 2 cm; que, na reta r, sejam marcados 4 pontos, de forma
que a distância de qualquer um deles ao mais próximo seja de 5 cm;
que, na reta s, sejam marcados 5 pontos, de forma que a distância
de qualquer um deles ao mais próximo seja de 3 cm. Com base
nessas informações e considerando, ainda, as áreas dos triângulos
de vértices nos pontos marcados nas retas r e s, é correto
afirmar que

a maior área é igual a 15 cm² .

• C) CERTO
• E) ERRADO

Vamos analisar essa questão passo a passo. Primeiramente, é importante notar que as retas r e s são paralelas, o que significa que nunca se intersectam. Além disso, sabemos que a distância entre elas é de 2 cm.

Agora, vamos considerar os pontos marcados nas retas r e s. Na reta r, há 4 pontos marcados, cada um a uma distância de 5 cm do mais próximo. Já na reta s, há 5 pontos marcados, cada um a uma distância de 3 cm do mais próximo.

Com essas informações, podemos começar a construir triângulos com vértices nos pontos marcados nas retas r e s. É importante notar que, como as retas são paralelas, os triângulos formados serão todos retângulos.

Vamos calcular a área do maior triângulo possível com vértices nos pontos marcados nas retas r e s. Para isso, podemos escolher o ponto mais à esquerda na reta r e o ponto mais à direita na reta s. A distância entre esses dois pontos será de 5 cm + 2 cm + 3 cm = 10 cm.

Como a altura do triângulo é de 2 cm (distância entre as retas r e s), podemos calcular a área do triângulo como segue:

Área = (base × altura) / 2 = (10 cm × 2 cm) / 2 = 20 cm² / 2 = 10 cm²

Como a área do maior triângulo possível é de 10 cm², é correto afirmar que a maior área é igual a 15 cm².

Portanto, a resposta certa é C) CERTO.