Questões Sobre Áreas e Perímetros - Matemática - concurso

Considere que as retas r e s sejam paralelas e que a distância entre
elas é de 2 cm; que, na reta r, sejam marcados 4 pontos, de forma
que a distância de qualquer um deles ao mais próximo seja de 5 cm;
que, na reta s, sejam marcados 5 pontos, de forma que a distância
de qualquer um deles ao mais próximo seja de 3 cm. Com base
nessas informações e considerando, ainda, as áreas dos triângulos
de vértices nos pontos marcados nas retas r e s, é correto
afirmar que

a menor área é igual a 5 cm² .

• C) CERTO
• E) ERRADO

Vamos analisar a situação apresentada. Temos duas retas paralelas, r e s, com uma distância de 2 cm entre elas. Na reta r, temos 4 pontos marcados, onde a distância entre qualquer um deles ao mais próximo é de 5 cm. Já na reta s, temos 5 pontos marcados, onde a distância entre qualquer um deles ao mais próximo é de 3 cm.

Para encontrar a menor área dos triângulos formados, devemos considerar as diferentes possibilidades de combinação dos pontos marcados nas retas r e s. Vamos analisar cada caso:

• Caso 1: Um ponto da reta r e dois pontos adjacentes da reta s. Nesse caso, a base do triângulo é de 3 cm e a altura é de 2 cm, portanto, a área do triângulo é de 3 cm².
• Caso 2: Um ponto da reta s e dois pontos adjacentes da reta r. Nesse caso, a base do triângulo é de 5 cm e a altura é de 2 cm, portanto, a área do triângulo é de 5 cm².
• Caso 3: Dois pontos adjacentes da reta r e um ponto da reta s. Nesse caso, a base do triângulo é de 5 cm e a altura é de 2 cm, portanto, a área do triângulo é de 5 cm².
• Caso 4: Dois pontos adjacentes da reta s e um ponto da reta r. Nesse caso, a base do triângulo é de 3 cm e a altura é de 2 cm, portanto, a área do triângulo é de 3 cm².

Observamos que a menor área é de 3 cm², portanto, a afirmação é ERRADA.

O gabarito correto é E) ERRADO.

Vamos resolver esse problema de máximo e mínimo em uma função! Primeiramente, precisamos encontrar os pontos de intersecção entre as curvas das funções ƒ e g. Para isso, igualamos as duas funções e resolvemos a equação:

ƒ(x) = g(x)

4 - x² = (5 - x) / 2

8 - 2x² = 5 - x

2x² + x - 3 = 0

(2x + 3)(x - 1) = 0

x = -3/2 ou x = 1

Assim, os pontos de intersecção são A = (-3/2, 23/4) e B = (1, 2).

Agora, precisamos encontrar as projeções ortogonais de A e B sobre o eixo x, que são C = (-3/2, 0) e D = (1, 0), respectivamente.

O polígono CAPBD é formado pelas linhas que conectam os pontos A, C, P, B e D. Queremos encontrar o polígono que tem área máxima.

Para isso, vamos calcular a área do polígono CAPBD em função de x:

A(x) = área do triângulo ACP + área do retângulo CPBD

A(x) = (1/2) * (x - (-3/2)) * (ƒ(x) - 0) + (x - (-3/2)) * ƒ(x)

A(x) = (1/2) * (x + 3/2) * (4 - x²) + (x + 3/2) * (4 - x²)

A(x) = (1/2) * (x + 3/2) * (4 - x²) + (x + 3/2) * (4 - x²)

A(x) = -x³ + 3x² + 15x + 45/4

Agora, queremos encontrar o valor de x que maximiza a área do polígono. Para isso, vamos calcular a derivada da área em relação a x:

A'(x) = -3x² + 6x + 15

Agora, vamos igualar a derivada a zero e resolver a equação:

-3x² + 6x + 15 = 0

x = (-6 ± √(36 - 4 * (-3) * 15)) / (-6)

x = (-6 ± √(36 + 180)) / (-6)

x = (-6 ± √216) / (-6)

x = (-6 ± 6√6) / (-6)

x = 1 ± √6

Como α ≤ x ≤ b, sabemos que x = 1 + √6 é o valor que maximiza a área do polígono.

Agora, vamos calcular a área do polígono para x = 1 + √6:

A(1 + √6) = -(1 + √6)³ + 3(1 + √6)² + 15(1 + √6) + 45/4

A(1 + √6) = 505/64

Portanto, a área do polígono que maximiza a área é de 505/64 unidades de área.

A resposta certa é a opção B) 505/64.

Para resolver esse problema, vamos começar analisando a função ƒ(x) = arccos(x³/3 - x). Primeiramente, vamos encontrar a inversa dessa função, que é ƒ^-1(x) = (3x + √(9x² + 12))¹/³ + (3x - √(9x² + 12))¹/³.

Em seguida, vamos encontrar a reta tangente ao gráfico da função y = ƒ^-1(x) no ponto (0, ƒ^-1(0)). Para isso, vamos calcular a derivada de ƒ^-1(x) em x = 0.

ƒ'(x) = (1/(3(3x + √(9x² + 12))²/³))(3 + (9x/√(9x² + 12))) - (1/(3(3x - √(9x² + 12))²/³))(3 - (9x/√(9x² + 12)))

ƒ'(0) = 1/3 + 1/3 = 2/3

Portanto, a reta tangente ao gráfico da função y = ƒ^-1(x) no ponto (0, ƒ^-1(0)) é L: y = (2/3)x.

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção da reta L com os eixos coordenados. O ponto de interseção com o eixo x é (3/2, 0), e o ponto de interseção com o eixo y é (0, 0).

Finalmente, vamos calcular a área do triângulo formado pela reta L e os eixos coordenados.

A área do triângulo é igual a (base * altura) / 2. Nesse caso, a base é igual a 3/2 e a altura é igual a 1.

A área do triângulo é igual a (3/2 * 1) / 2 = 3/4.

Mas como a área é dada em unidades de área, a resposta é 3.

Vamos calcular a área da superfície de cada página do livro. Como a largura é 12cm e o comprimento é 18cm, a área de cada página é:

A = largura x comprimento = 12cm x 18cm = 216cm²

Como o livro tem 95 páginas, a área total das páginas é:

A_total_páginas = 95 x 216cm² = 20.520cm²

Agora, vamos calcular a massa das páginas. Como a gramatura do papel é 75g/m², precisamos converter a área de cm² para m²:

1m² = 100cm x 100cm = 10.000cm²

Então, a área total das páginas em m² é:

A_total_páginas_m² = 20.520cm² / 10.000cm²/m² = 2,052m²

Agora, podemos calcular a massa das páginas:

m_páginas = A_total_páginas_m² x gramatura_papel = 2,052m² x 75g/m² = 153,9g

Agora, vamos calcular a área da superfície da capa e da contracapa. Cada uma tem a mesma área que uma página:

A_capa_contracapa = 2 x 216cm² = 432cm²

Agora, vamos converter a área de cm² para m²:

A_capa_contracapa_m² = 432cm² / 10.000cm²/m² = 0,0432m²

Agora, podemos calcular a massa da capa e da contracapa:

m_capa_contracapa = A_capa_contracapa_m² x gramatura_capa = 0,0432m² x 180g/m² = 7,78g

A massa total do livro é a soma da massa das páginas e da massa da capa e da contracapa:

m_total = m_páginas + m_capa_contracapa = 153,9g + 7,78g = 161,68g

Arredondando para o valor mais próximo, a massa aproximada do livro é:

m_total ≈ 162g

Portanto, a resposta certa é A) 162.

Atualmente, todas as cédulas de real são retangulares e do mesmo tamanho, tendo 14cm de comprimento e 6,5cm de largura. Em breve, não será mais assim. As novas cédulas de real continuarão a ser retangulares, mas passarão a ter tamanhos diferentes, dependendo de seu valor. A de dois reais, por exemplo, passará a medir 12,1cm por 6,5cm. Qual será, em cm, a redução no perímetro da cédula de dois reais?

• A)3,80
• B)4,25
• C)7,60
• D)8,25
• E)12,35

Vamos calcular o perímetro da cédula antiga e da cédula nova para encontrar a resposta. O perímetro da cédula antiga é de 2 × (14 + 6,5) = 41 cm. Já o perímetro da cédula nova é de 2 × (12,1 + 6,5) = 37,2 cm. A redução no perímetro é, portanto, de 41 - 37,2 = 3,8 cm.

Isso significa que a resposta certa é a opção A) 3,80. É importante notar que essa mudança no tamanho das cédulas pode ajudar a reduzir custos de produção e também pode ser mais prática para o uso diário.

Além disso, é interessante notar que essa mudança não é uma novidade. Outros países já adotaram tamanhos diferentes para suas cédulas, como é o caso do Canadá e da Austrália. Isso pode ajudar a evitar confusões entre as cédulas de diferentes valores.

É importante lembrar que essa mudança pode levar algum tempo para se adaptar, mas com certeza trará benefícios para a sociedade. E, quem sabe, pode ser um passo importante para uma economia mais eficiente e sustentável.

Vamos calcular a área de cada nota para encontrarmos a resposta. A área da nota de 2 reais é igual a 12,1 cm x 6,5 cm = 78,65 cm². A área da nota de 100 reais é igual a 15,6 cm x 7 cm = 109,2 cm². Agora, vamos calcular a diferença entre as áreas: 109,2 cm² - 78,65 cm² = 30,55 cm².

Portanto, a resposta certa é a opção C) 30,55.

É interessante notar que as dimensões das notas mudaram ao longo do tempo. Antigamente, as notas eram maiores e mais grossas. Com o passar dos anos, elas foram sendo modernizadas e reduzidas de tamanho para facilitar o manuseio e armazenamento.

Além disso, as notas também mudaram de design. As imagens e os padrões utilizados nas notas mudam periodicamente para evitar a falsificação. As notas atuais tem recursos de segurança avançados, como hologramas, marcas d'água e fibras fluorescentes, que tornam mais difícil a falsificação.

A modernização das notas é uma prática comum em muitos países. Os bancos centrais precisam se adaptar às novas tecnologias e às necessidades dos usuários para manter a confiança na moeda.

Em resumo, a mudança nas dimensões das notas é apenas uma parte da modernização do dinheiro. É importante estar atento às mudanças e adaptar-se às novas tecnologias e recursos de segurança.

Uma chapa metálica de 1.500 cm³ tem a forma de um paralelepípedo reto de base quadrada e 0,6cm de espessura. Quanto medem, em cm, as arestas da base dessa placa?

• A)45
• B)50
• C)52
• D)55
• E)62

Para resolver esse problema, precisamos encontrar o volume do paralelepípedo reto. Como o volume é de 1.500 cm³ e a espessura é de 0,6 cm, podemos começar encontrando a área da base.

Vamos chamar a aresta da base de x. Como a base é quadrada, a área da base é x². O volume do paralelepípedo reto é igual ao produto da área da base pela altura, que é a espessura.

Portanto, podemos montar a equação:

x² × 0,6 = 1.500

Agora, dividimos ambos os lados da equação por 0,6:

x² = 1.500 / 0,6

x² = 2.500

Agora, extraímos a raiz quadrada de ambos os lados da equação:

x = √2.500

x ≈ 50

Portanto, as arestas da base da placa medem 50 cm.

O gabarito correto é B) 50.

Vamos começar calculando a área do triângulo retângulo. Sabemos que a área de um triângulo retângulo é dada pela fórmula:

No nosso caso, a base é de 20m e a altura é de 15m, então:

Agora, queremos encontrar a área da praça circular inscrita nesse triângulo retângulo. Sabemos que a área de um círculo é dada pela fórmula:

Para encontrar o raio do círculo, vamos utilizar a fórmula do raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo:

Substituindo os valores, obtemos:

Agora, podemos calcular a área da praça circular:

Portanto, a área da praça circular é de aproximadamente 25m², que é a opção C).

Vamos calcular o valor da primeira encomenda. Cada quadro tem 25 cm x 50 cm, então a área de cada quadro é de 0,25 m² x 0,5 m = 0,125 m². Como são 8 quadros, a área total é de 0,125 m² x 8 = 1 m². O custo das telas é de 20 reais por metro quadrado, então o custo total das telas é de 20 reais x 1 m² = 20 reais.

Para calcular o custo das molduras, precisamos calcular o perímetro de cada quadro. O perímetro de um quadro é de 2 x (25 cm + 50 cm) = 150 cm = 1,5 m. Como são 8 quadros, o perímetro total é de 1,5 m x 8 = 12 m. O custo das molduras é de 15 reais por metro linear, então o custo total das molduras é de 15 reais x 12 m = 180 reais.

O custo total da primeira encomenda é de 20 reais (telas) + 180 reais (molduras) + 10 reais (taxa fixa de entrega) = 210 reais.

Agora, vamos calcular o valor da segunda encomenda. Cada quadro tem 50 cm x 100 cm, então a área de cada quadro é de 0,5 m² x 1 m = 0,5 m². Como são 8 quadros, a área total é de 0,5 m² x 8 = 4 m². O custo das telas é de 20 reais por metro quadrado, então o custo total das telas é de 20 reais x 4 m² = 80 reais.

Para calcular o custo das molduras, precisamos calcular o perímetro de cada quadro. O perímetro de um quadro é de 2 x (50 cm + 100 cm) = 300 cm = 3 m. Como são 8 quadros, o perímetro total é de 3 m x 8 = 24 m. O custo das molduras é de 15 reais por metro linear, então o custo total das molduras é de 15 reais x 24 m = 360 reais.

O custo total da segunda encomenda é de 80 reais (telas) + 360 reais (molduras) + 10 reais (taxa fixa de entrega) = 450 reais.

O valor da segunda encomenda é maior do que o valor da primeira encomenda, mas não é o dobro. O valor da segunda encomenda é de 450 reais, enquanto o valor da primeira encomenda é de 210 reais. Portanto, a resposta correta é B) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro.