Questões Sobre Áreas e Perímetros - Matemática - concurso

Vamos resolver esse problema passo a passo! Para começar, suponha que o comprimento de uma das partes seja x metros. Então, a outra parte terá 30 - x metros de comprimento.

Como cada parte forma um quadrado, os lados dos quadrados terão comprimentos x/4 e (30 - x)/4 metros, respectivamente.

A área do primeiro quadrado é (x/4)² e a área do segundo quadrado é ((30 - x)/4)². A soma das áreas é:

S = (x/4)² + ((30 - x)/4)²

Para fazer isso, podemos derivar S em relação a x e igualá-la a zero:

dS/dx = (x/2) - (30 - x)/2 = 0

Resolvendo essa equação, encontramos:

x = 15

Isso significa que o menor valor possível para S é obtido quando o arame é cortado em duas partes iguais de 15 metros cada.

Portanto, a resposta certa é A) o arame é cortado em duas partes iguais.

Uma pesquisa sobre produção de biodiesel mostra que os lucros obtidos em função da área plantada, para a mamona e para a soja, são descritos pelas funções a seguir:

- para a mamona, f(x)=100x-2000
- para a soja, g(x)=120x-3000

Em ambos os casos, x corresponde ao número de hectares plantados e f(x) e g(x) aos respectivos lucros obtidos.

Com base nessas informações, é possível afirmar que

para determinar qual opção é a mais lucrativa em diferentes situações.

Para começar, vamos analisar a afirmação A. Se o plantio de soja torna-se lucrativo para todas as áreas maiores que 20 ha, isso significa que o lucro obtido com a soja é maior que zero quando x > 20. Podemos verificar isso encontrando o valor de x que torna g(x) = 0:

g(x) = 120x - 3000 = 0

x = 3000 / 120 = 25

Vemos que o lucro com a soja é zero quando x = 25, ou seja, o plantio de soja não é lucrativo para áreas menores que 25 ha. Portanto, a afirmação A está incorreta.

Agora, vamos analisar a afirmação B. Se um agricultor vai cultivar 40 ha, qual é a opção mais lucrativa? Podemos calcular os lucros obtidos com a mamona e a soja para x = 40:

f(40) = 100(40) - 2000 = 4000 - 2000 = 2000

g(40) = 120(40) - 3000 = 4800 - 3000 = 1800

Vemos que o lucro obtido com a mamona é maior que o lucro obtido com a soja. Portanto, a afirmação B está incorreta.

A afirmação C diz que o plantio de mamona é mais lucrativo que a soja em áreas maiores que 50 ha. Vamos verificar isso encontrando o valor de x que torna f(x) = g(x):

f(x) = g(x)

100x - 2000 = 120x - 3000

2000 = 20x - 1000

3000 = 20x

x = 3000 / 20 = 50

Vemos que o lucro obtido com a mamona é igual ao lucro obtido com a soja quando x = 50. Portanto, a afirmação C está incorreta.

A afirmação D diz que, para uma área de 50 ha, as duas culturas apresentam a mesma lucratividade. Vimos que isso é verdadeiro, pois f(50) = g(50).

Finalmente, a afirmação E diz que o plantio da mamona dá prejuízo para todas as áreas menores que 30 ha. Vamos verificar isso encontrando o valor de x que torna f(x) = 0:

f(x) = 100x - 2000 = 0

x = 2000 / 100 = 20

Vemos que o lucro obtido com a mamona é zero quando x = 20, ou seja, o plantio de mamona não é lucrativo para áreas menores que 20 ha. Portanto, a afirmação E está incorreta.

Portanto, a resposta correta é D), que afirma que, para uma área de 50 ha, as duas culturas apresentam a mesma lucratividade.

Julgue os itens a seguir, acerca de um reservatório de gás que tem
a forma de uma esfera de 10 m de raio.

Um reservatório esférico que tem raio igual à metade do raio do reservatório original terá área de superfície igual à metade da área da superfície do reservatório original.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Vamos analisar essa afirmação. A área da superfície de uma esfera é dada pela fórmula A = 4 × π × r², onde r é o raio da esfera. Se o raio do reservatório esférico é reduzido à metade, ou seja, se r passa a ser r/2, a área da superfície passa a ser A' = 4 × π × (r/2)² = π × r².

Note que a área da superfície do reservatório original é A = 4 × π × r², e a área da superfície do reservatório esférico com raio reduzido à metade é A' = π × r². É fácil ver que A' não é igual à metade de A, mas sim a um quarto da área original. Portanto, a afirmação está ERRADA.

É importante lembrar que, quando se trabalha com problemas de geometria, é fundamental ter cuidado com as fórmulas e não confundir conceitos. Nesse caso, a redução do raio à metade não implica necessariamente na redução da área da superfície à metade.

Agora, vamos analisar outras propriedades do reservatório esférico. Por exemplo, qual é o volume do reservatório original? O volume de uma esfera é dado pela fórmula V = (4/3) × π × r³, onde r é o raio da esfera. Substituindo o valor do raio, temos V = (4/3) × π × (10)³ = (4000/3) × π.

E se o raio do reservatório esférico for reduzido à metade? O volume passa a ser V' = (4/3) × π × (5)³ = (125/3) × π. Note que o volume do reservatório esférico com raio reduzido à metade é menor que o volume do reservatório original.

Esses são apenas alguns exemplos de como podemos analisar as propriedades de um reservatório esférico. É fundamental ter conhecimento das fórmulas e conceitos básicos de geometria para resolver problemas desse tipo.

Vamos analisar as informações fornecidas para julgar o item. A embalagem tem uma capacidade de 8.000 cm³, portanto, precisamos encontrar as dimensões que atendem a essa condição. Se as arestas da embalagem medem 80 cm, 10 cm e 10 cm, podemos calcular a área da superfície da embalagem.

A área da superfície da embalagem é calculada pelo somatório das áreas das faces. Nesse caso, temos:

• Dois lados menores (10 cm x 10 cm) = 2 x 100 cm² = 200 cm²
• Dois lados maiores (80 cm x 10 cm) = 2 x 800 cm² = 1600 cm²
• Face maior (80 cm x 80 cm) = 6400 cm²

A área total da superfície é a soma dessas áreas: 200 cm² + 1600 cm² + 6400 cm² = 8200 cm². Como o material custa R$ 10,00 o metro quadrado, a despesa para fabricar essa embalagem seria de 8,2 m² x R$ 10,00/m² = R$ 82,00.

Agora, vamos analisar a embalagem cúbica que atende às exigências. Como nenhuma aresta pode medir menos que 10 cm, o menor cubo que atende às exigências tem arestas de 10 cm. Nesse caso, a área da superfície da embalagem cúbica é de 6 x 10 cm x 10 cm = 6 x 100 cm² = 600 cm². A despesa para fabricar essa embalagem seria de 0,6 m² x R$ 10,00/m² = R$ 6,00.

Comparando as duas despesas, vemos que a despesa para fabricar a embalagem com arestas 80 cm, 10 cm e 10 cm (R$ 82,00) é superior à despesa para fabricar a embalagem cúbica (R$ 6,00). Portanto, o item está CERTO.

Vamos calcular o volume da embalagem cúbica que cumpre as exigências. Como o volume é de 8.000 cm³, e a embalagem é cúbica, temos que:

V = a³ = 8.000 cm³

Portanto, a = 20 cm (aresta da embalagem)

Como todas as faces da embalagem têm área igual, e uma delas tem área mínima de 30 cm², temos que:

a² ≥ 30 cm²

Que é verdadeiro, pois a = 20 cm.

Agora, vamos calcular a área total da embalagem:

A = 6a² = 6 × 20² = 2400 cm²

Convertendo para metros quadrados:

A = 2400 cm² × (1 m / 100 cm)² = 0,24 m²

A despesa com material será:

C = A × R$ 10,00 / m² = 0,24 m² × R$ 10,00 / m² = R$ 2,40

Portanto, a afirmação está ERRADA, e o gabarito correto é E).

Agora, você pode julgar outros itens com base nas mesmas informações:

...

Vamos resolver o problema passo a passo. Como o perímetro do retângulo é igual a 180 m, podemos escrever uma equação utilizando a fórmula do perímetro de um retângulo, que é 2(l + c), onde l é o comprimento e c é a largura.

Como um dos lados do retângulo mede 10 m a mais que o outro, podemos chamar o lado menor de x e o lado maior de x + 10. Substituindo esses valores na equação do perímetro, temos:

2(x + (x + 10)) = 180

Simplificando a equação, obtemos:

2x + 2x + 20 = 180

4x + 20 = 180

Subtraindo 20 de ambos os lados da equação, obtemos:

4x = 160

Dividindo ambos os lados da equação por 4, obtemos:

x = 40

Portanto, o lado menor do retângulo é 40 m e o lado maior é 40 + 10 = 50 m.

Agora, podemos calcular a área do retângulo utilizando a fórmula A = l × c, onde l é o comprimento e c é a largura.

A = 50 × 40

A = 2000 m²

Portanto, a área do terreno é igual a 2000 m², que é a opção E).

• A) 1800 m².
• B) 1600 m².
• C) 1400 m².
• D) 1200 m².
• E) 2000 m².

Vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiramente, sabemos que a área do retângulo é 11 cm².

Suponha que o comprimento do retângulo seja c e a largura seja l. Então, temos que:

c × l = 11

Agora, sabemos que o comprimento foi reduzido de 1,5 cm e a largura aumentada de 2 cm para que o retângulo se torne um quadrado. Isso significa que:

c - 1,5 = l + 2

Substituindo l pela expressão c - 3,5 (obtida da equação anterior), temos:

(c - 3,5) × c = 11

Expansão da equação:

c² - 3,5c - 11 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

c = (-(-3,5) ± √((-3,5)² - 4 × 1 × (-11))) / 2 × 1

c = (3,5 ± √(12,25 + 44)) / 2

c = (3,5 ± √56,25) / 2

c = (3,5 ± 7,5) / 2

Agora, temos duas soluções para c:

c = (3,5 + 7,5) / 2 = 5,5 cm

c = (3,5 - 7,5) / 2 = -2 cm (solução inválida, pois o comprimento não pode ser negativo)

Portanto, o comprimento do retângulo é 5,5 cm. Como o retângulo se tornou um quadrado, a largura também é 5,5 cm.

O perímetro do retângulo original é:

2 × (c + l) = 2 × (5,5 + 4) = 2 × 9,5 = 19 cm

Mas como o problema pede o perímetro do retângulo original, devemos calcular o perímetro antes das mudanças. Ou seja:

O perímetro do retângulo original é:

2 × ((c + 1,5) + (l - 2)) = 2 × (5,5 + 1,5 + 5,5 - 2) = 2 × 10 = 20 cm

Mas essa não é uma das opções. Vamos tentar novamente.

Podemos calcular o perímetro do retângulo original a partir do comprimento e largura originais:

O perímetro do retângulo original é:

2 × (c + l) = 2 × (c + (c - 3,5)) = 2 × (2c - 3,5)

Substituindo c por 5,5 cm:

O perímetro do retângulo original é:

2 × (2 × 5,5 - 3,5) = 2 × (11 - 3,5) = 2 × 7,5 = 15 cm

E aí está! O perímetro do retângulo original é 15 cm, que é a opção D).

Deseja-se pavimentar um quarto retangular com 3,6 metros de comprimento por 3 metros de largura, usando azulejos quadrados de 30 centímetros de lado.

Para tanto, deve-se usar

• A)menos que 115 azulejos.
• B)entre 115 e 118 azulejos.
• C)entre 118 e 121 azulejos.
• D)mais que 121 azulejos.

Para resolver esse problema, vamos começar calculando a área do quarto retangular. Lembre-se de que a fórmula para calcular a área de um retângulo é: área = comprimento x largura.

No nosso caso, o comprimento é de 3,6 metros e a largura é de 3 metros. Então, vamos converter esses valores para centímetros, pois os azulejos têm 30 centímetros de lado.

1 metro equivale a 100 centímetros, então:

• 3,6 metros = 3,6 x 100 = 360 centímetros (comprimento)
• 3 metros = 3 x 100 = 300 centímetros (largura)

Agora, podemos calcular a área do quarto:

área = 360 x 300 = 108.000 centímetros quadrados

Agora, vamos calcular a área de um azulejo:

área do azulejo = lado x lado = 30 x 30 = 900 centímetros quadrados

Para encontrar o número de azulejos necessários, vamos dividir a área do quarto pela área de um azulejo:

número de azulejos = área do quarto ÷ área do azulejo = 108.000 ÷ 900

Vamos calcular isso:

número de azulejos = 120 azulejos

Portanto, a resposta certa é C) entre 118 e 121 azulejos.

Vamos analisar o problema passo a passo. Sabemos que a área do retângulo é 23 m² e que a soma das medidas de seus 4 lados é 20 m. Podemos representar as medidas dos lados do retângulo como a e b, onde a é o comprimento e b é a largura. Sendo assim, a área do retângulo pode ser calculada pela fórmula:

A = a × b

Substituindo o valor da área, temos:

23 = a × b

Além disso, sabemos que a soma das medidas dos 4 lados é 20 m, então:

a + b + a + b = 20

Simplificando a equação acima, obtemos:

2a + 2b = 20

Dividindo ambos os lados da equação por 2, obtemos:

a + b = 10

Agora, podemos utilizar o método de resolução de sistemas de equações para encontrar os valores de a e b. Multiplicando a equação 23 = a × b por -1, obtemos:

-23 = -a × b

Somando as equações a + b = 10 e -23 = -a × b, obtemos:

b = 10 - a

Substituindo o valor de b na equação 23 = a × b, obtemos:

23 = a × (10 - a)

Expanding a equação acima, obtemos:

23 = 10a - a²

Rearranjando a equação acima, obtemos:

a² - 10a + 23 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, obtemos:

a = 5 ou a = 23/5

Substituindo os valores de a na equação b = 10 - a, obtemos:

b = 5 ou b = 2

Portanto, os valores de a e b são inteiros. Logo, as medidas dos lados desse retângulo, em metros, não são números fracionários.

• C) ERRADO
• E) CERTO

Vamos analisar melhor o retângulo em questão. Sabemos que a área do retângulo é 23 m² e a soma das medidas de seus 4 lados é 20 m. Isso significa que podemos representar as medidas dos lados do retângulo como 5 m, 5 m, 3 m e 7 m, pois 5 + 5 + 3 + 7 = 20 m.

Podemos calcular as diagonais do retângulo utilizando o teorema de Pitágoras. Seja a diagonal uma linha que liga os vértices opostos do retângulo. Então, podemos considerar que a diagonal é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado por dois lados do retângulo.

Vamos calcular a diagonal que liga os vértices opostos de menor distância (3 m e 5 m). Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

d² = 3² + 5² => d² = 9 + 25 => d² = 34 => d = √34 ≈ 5,83 m

Agora, vamos calcular a outra diagonal que liga os vértices opostos de maior distância (5 m e 7 m). Novamente, utilizando o teorema de Pitágoras:

d² = 5² + 7² => d² = 25 + 49 => d² = 74 => d = √74 ≈ 8,60 m

Como podemos ver, as diagonais do retângulo são medidas, em metros, por números não fracionários (5 e 8). Portanto, a resposta certa é:

• C) CERTO
• E) ERRADO